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計算數學入門系列 - 一些關於複數不等式的解

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這個學期教授一門新的課程，其中有一個課題是討論一些微分方程數值解的絕對穩定性。 裏面牽涉到一些關於複數 （Complex Number）的不等式。 在這篇文章裏面介紹一些解決這些不等式的數值方法。 最簡單的例子，我們考慮 \( \left|1+z\right|\le1 \)。如果變數 z 是一個實數 （Real Number），這條不等式的答案相對比較簡單，在一般中學的課程裏面都應該已經提及過。經過一些運算，我們就可以得到 \( -2\le z\le0 \)。 如果 \( z \) 是複數， 我們就需要對複數有多一點的認識。首先我們需要去理解一下絕對值在複數的定義。其中一個方法我們可以將絕對值理解成一個複數的量或者是長度， 譬如說，\(\left|-i\right|=1\)。所以根據上面這個定義，我們就可以得到 \( \left|1+z\right|=\left|z-\left(-1\right)\right| \)就是在找一個複數 \(z \)和 -1 之間的距離。上面那條不等式，就是說要去找所有跟 -1 之間的距離就少於或等於1 的複數。 在複數平面上面，我們就可以找到一個中心在-1而且半徑為1的圓盤（Disk）。另外一個方法，我們可以把一個複數首先寫成 \( z=a+ib\) 。這樣子，不等式就變成 \( \left|1+a+ib\right|=\sqrt{\left(1+a\right)^2+b^2}\le1\)，然後我們就可以找到一個中心在-1的圓盤的數學表示方式 \( \left(1+a\right)^2+b^2\le1\)。 而當 \(b=0\)，我們就可以得到之前所提到的實數解 \( -2\le z\le0 \)。 上面的這個例子其實是一個一般情況的其中一個特別解。我們假設 \[ f_n\left(z\right)=1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n!} \] 為一個n項的泰勒級數（Taylor’s Expansion）。然後我們就需要找出所有滿足\( \left|f_n\left(z\right)\right|\le1\)的複數。剛剛討論的情況，就只是當\(n\)等於1時的情況。如果 z 是一個實數，我們需要解決的相關不等式，就只是一個找根 （Root Finding）的問題。 如果n等於2，我們就可以用一元...
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YouTuber系列 – 嚇死我

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回想911（四）

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在補習班上，從朋友口中大約知道那天早上有飛機撞到世貿大樓。自己也發呆了。才回想起早上的那幾通電話，感受到電話另一段所傳來的恐懼，和希望得到一些令自己心情平復的安慰。 最後在了不到半小時，已經離開課室回家。返回家中，兩個同屋 都已經在了。打開家門，就看到電視畫面。電視新聞上已經不斷在播放着飛機撞到世貿大樓和雙子塔倒下的片段。自己回到房間，打開電腦，上網看一下香港的新聞網站，看到所有恐怖的畫面和事情的經過。馬上打電話給弟弟，希望了解一下他在紐約唐人街是否安全。世貿大樓就在唐人街附近，走路就可以到達。所以想像一下在紐約的情況還是應該非常混亂。電話好像一直打不通，唯有打電話回香港問一下有沒有弟弟的消息。跟父母說了一會，知道了弟弟安全沒有什麼問題，匆匆的就把電話結束了。 在房間了解了事情的始末，也了解到家人朋友安全以後，曾回到客廳一兩個同房嘗試聊天一下。可是他們都沒有太大的心情，只是不斷在看着電視機上的畫面。新聞還是在播放着一些飛機撞向世貿時的片段，人們如何在街上恐慌地跑和尖叫着。看見黑煙不斷從大廈冒出，過了不久，整棟大廈倒塌。看見還是非常震撼。一些片段，看見在地圖上面飛機飛行軌道的片段，所有人都懷疑着這些飛機是否遭到騎劫。新聞上傳來很多不同的消息（當然後來也證實了一些是真確報道然後也有一些是不實的消息），說一些飛機不見了。美國上空進行飛行管制，所有飛機都必須要馬上降落。地圖上看見在飛行中的飛機越來越少。然後報道的消息越來越多，人們開始清楚事件的嚴重性，和了解到這並不是單一的意外，而是一些仔細策劃的襲擊，分別破壞紐約的一些指標建築，然後亦有人去騎劫飛機嘗試襲擊五角大樓度。 記得那幾天，還是不斷在網上重播那些片段，看到不同角度的分析，和新聞報道對事件不同角度的闡述。事件當然有着重要的影響，事件以後美國在中東發動的戰爭就不多說。事件對自己的影響可能還是心理上多一點。剛到美國時，所感受到的安全和自由，好像一下子都不見了。 看着雙子塔倒塌的畫面，同時回頭想着自己剛到美國四處遊玩時，在世貿大廈附近走動的畫面，所帶來的震撼還是相當巨大。每天看見新聞都在擔心是否會有另外一類型恐怖襲擊在美國本土出現。除了飛機撞擊大廈以外，是否會有其他種類的襲擊出現？像是1995年在日本奧姆真理教所發動的沙林毒氣襲擊，是否會在美國其他大城市出現？我猜想那是在美國生活的所有人，或多或少都有一點對日常生活是否安全...
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回想911（三）

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  那天早上，同房也是非常早離開回到自己的實驗室工作。那個時候，我還在床上睡覺。應該還不到6:00AM（客機撞到世貿大樓北座的時間是東岸8:46AM，就是西岸時間早上5:46。然後另外一班客機撞到世貿大樓南座的時間是東岸9:03AM，就是西岸時間6:03AM），房間的電話就響起來。由於那個時候根本沒有什麼朋友會打電話到我家，而且也有沒有親戚朋友有我家的電話，電話響起，一般都是找同屋的。所以那個早上的電話，下意識根本沒有把它接起來的意思。他一直響一直響，然後鈴聲中斷。「太好了」，然後我又繼續睡覺。過了不久，電話又再響起，小房間內的美國同屋還是沒有起來把電話接起，還在響，還在響，然後就中斷。我又睡着了。到了第三次，還是第四次，我終於起床，把電話接起來。電話另一邊傳來的是一把女聲，哭着，說要找我同房的Roommate。我跟他說他已經去上班了，沒有人在。他一邊哭一邊用他非常流利的英語不停的在說話。那個時候自己的破英語，根本沒有辦法能明白他用哭腔所說的事情。隱約聽到的什麼飛機，什麼撞着，什麼紐約，等等的事情。自己還不停在想着睡覺的事情，也沒有太留意他到底是如何的緊張和恐慌。由於沒有太清楚同房朋友說的事情，非常敷衍的跟他說，沒有問題，我會給你轉達給同房，想着如何盡快把這通電話結束，讓我好好再去睡一下。說了好一會，最後把這通電話結束。心想，終於可以再睡一會。然後過了一段時間，電話又再響起（東岸時間早上9:59，世貿大樓南座倒塌。早上10:28世貿大樓北座倒塌）。還是同一把女聲，聽起來比之前的聲音還要恐懼，又再說一次什麼飛機，什麼紐約。我還是把對話重新一遍，說會將消息傳達給同房知道。很快的把對話中斷。然後，自己的睡意也沒有了。不是由於終於了解事情的嚴重性，而是由於這通電話的煩擾，已經沒有睡覺的意願。 看一下時間（應該已經八點），差不多需要回校上補習班。所以梳理一下自己，洗個澡就開始準備離開家上課。交通也正常，坐巴士回校，中間好像也沒有太多特別的情況。只是隱隱覺得，好像街上比較安靜，人是少了一些，但還是沒有覺得太多的分別。回到學校，就發覺好像在校園內人就更少了。也不覺得有太多人四處走動。回到課室，情況就更明顯了，全班可能只有10多位同學出現。與其說非常安靜，倒不如是說大部份同學都還沒有從震撼中醒過來。由於那個時候，我還未知道發生了什麼事情，坐在一邊跟其他同學聊天，問發生什麼事...
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