計算數學入門系列 - 計算區域的離散化（二）

假設我們有興趣的區域是在0到1之間，我們可以把這個區域分成某些數量的線段。最簡單的方式， 就是把這線段分成N 段相同長度的線段。 所以一共就會有N +1點。用MATLAB 的表示方式，我們可以用

N=…;

dx=1/N;

x=[0:dx:1];

當然，還是有一些同學喜歡用looping 的方法，喜歡把第三行寫成

for i=1:N+1

      x(i)=(i-1)*dx;

end

需要留意的是，這裏一共有N +1點，所以最後一個index並不是N，要不是最後運算時就差了x=1 那一點。 這裏有一點奇怪的是，我們定義了線段的段數，而不是取樣點數。所以如果同學喜歡定義N點，那就記得要把dx 定義成1/(N-1)。

對於不同問題的邊界條件，我們可能會將這個簡單的分段作出一點變化。上面所說的，對於一些Dirichlet Boundary Condition 非常方便。這種邊界條件，固定了在邊界上面函數的數值。在一些應用來說可能是邊界的溫度已經固定了，然後我們希望找出在區域內其他地方的溫度。所以在進行導數的近似值的時候，x(1) 和x(N+1) 就可以直接運用邊界條件去固定他們的數值。另外一點要注意的是，當我們在解決這個在計算區域內的問題，裏面我們希望求的是N -1個取樣點的函數值。 如果同學希望要找出來的是N個未知數（而不是N -1個取樣點上的函數），那就可以把dx定義成1/(N+1) 。

有一些問題，我們希望做一個周期性計算區域（Periodic Domain），就是說我們假設答案有一個周期性的特性所以無論x 的數值是什麼，x 和x+1 這兩點其實函數值是會一樣。如果這樣子，我們定義計算區域是就不需要考慮x=1 這一點，因為這一點的數值其實會跟x(1) 一樣，我們就不需要再多花心神在這一點上。

N=…;

dx=1/N;

x=[0:dx:1-dx];

如果寫這樣子， N這個數值就不是代表着線段的總數，而是代表着取樣點的數目。

然後有另外一些數學問題，我們希望取樣點是在線段的中心，而不是在線段的兩端。這樣，我們可以用

N=…;

dx=1/N;

x=[dx/2:dx:1-dx/2];

這個取樣點的方法不太常用，對一般入門的同學可能沒有太大用途。可是當我們在解決一些守恆定律方程式（Conservation Laws）， 用到一些有限容積法（Finite Volume Scheme） 的時候，這個離散化就不可少了。

上面所說的所有例子，都是相對比較簡單的區域離散化，我們都希望離散後點與點之間的距離是相等，用dx 來表示。可是有一些問題，我們有時會希望不同區域的取樣點分布有所不一樣。其中一個最主要的原因，是希望我們可以根據函數變化的速度去安排取樣點的密度。如果計算答案在某些區域內變化得非常快速，我們會希望多放一些取樣點仔細了解函數變化的情況。如果答案在某些另外的區域沒有太大變化，我們其實可以使用少 一些取樣點，已經可以把答案好好的用的插補方法估計出來。總的來說，這些方法叫做自適應方法 （Adaptive Method）。 雖然在編寫程式時可能有一點複雜 和麻煩，在一些計算應用裏面，是非常有效率的。 另外亦有另外一些方法取樣點並不會使相同距離，而是選用一些正交多項式 （Orthogonal Polynomial） 的根作為取樣點的地方。其中一個常用的是Chebyshev Polynomial， 牛津大學的Prof. Nick Trefethen [1] 就是其中一個大力推動者，他也花了很多時間建立了Chebfun 這一個MATLAB 的Package，有興趣的同學可以花點時間看一下[2] 。 對於這個研究方向，我自己就不太過熱心，主要的問題還是在高維空間的計算。