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回想911（二）

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  除了要考慮居住地方跟學校距離，最重要的還是租金分擔多少。由於有這些限制，找了一會，最終找了一個地方，跟另外兩個都是在UCLA修讀本科生的同學一起居住。房子也蠻大，兩房兩廳，一個小房間，和一個大的主人房。那個時候我不是自己住一個小房間，而是跟另外一個墨西哥裔的美國人住進了那個比較大的主人房。雖然沒有自己的房間，地方還是非常大。同房好像是修讀一些生物科技的本科課程，經常要在實驗室逗留非常長的時間。還記得一次，他把一篇研究論文給了我看，指着自己的名字，說自己也沒有太多的研究成份在裏面。只是幫忙一下實驗過程。也替他感到一點的高興。作為一個本科生，如果可以有一篇研究論文發表，對他將來的研究事業可能也有一點幫助。 可能自己比較早睡，晚上睡覺時，大部份時間同房還是沒有回來。早上起來，他可能已經離開了房間。所以大部份時間我們都很少碰面。比較多機會，還是在星期六，他可能會留在家長一點時間，洗洗衣服，清潔一下地方。另外一個有自己房間的Roommate，就更加少碰見。大部份時間他只會待在自己的房間裏面，可能是自己一個在打遊戲機，也可能是和女朋友一起在房間裏面…。所以整體來說，雖然有兩個美國的同屋，可是回想起來，也沒有太多的交集。 反而跟美國本地人比較多認識的機會，反而是在補習班裏面。還記得那一年數學系收了差不多50位博士生。聽起來好像是那麼多年以來收生最多的一次。所以在暑期班裏面都可以看見很多背景不同的同學。歐洲過來的好像已經有10多位，北京大學就已經有三位同學，加上香港三位同學，韓國，台灣，泰國也有一些。美國的，也有從東西兩岸過來，不同本科大學的學生。暑期班剛開始時，當然也是亞洲人比較多聚在一起一起食飯互相認識一下。可是到了課程中期，我們已經有好一些機會一起到洛杉磯不同地方，四處玩耍一下。 時間來到2001年9月11日，是一個星期二。暑期補習班那個時候已經差不多到了尾聲，課程已經是相對比較鬆散，也不是所有同學都出席。可能是由於同學們都覺得，自己在家溫習比較輕鬆自在，有時特別回校上課也不是太有效率。老師看見這樣情況，也樂得把課程時間縮短。所以那天好像也是差不多最後幾天的課了。
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回想911（一）

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有好幾個題目從開始寫文章時已經有一點想法。可是由於題材比較沉重，一直沒有決心開把他們記錄出來。其中一個，是在美國時所遇到過的一些衝擊比較大的事情。其中一個就是九一一。趁着911的20周年，記錄一下事情發生時自己的感受。 就在20年前，2001年的暑假，自己剛從科大碩士畢業，跑到美國繼續自己的博士學習。那個暑假七月份，先跑到紐約和三藩市探望一下親戚，亦都四處遊玩一下。差不多一個月的時間在東岸和西岸看看，再次感受一下美國的環境和文化。最特別地方，就是在美國的內陸機場登機非常方便。好像在飛機起飛前大約30分鐘抵達機場，還是可以輕鬆自在的登機。行李隨便經過X光機，然後跑到登機閘，上機，然後機門關閉，起飛。跟那個時候在亞洲乘座飛機完全不一樣，那時可能仍然需要預留兩小時抵達機場，進行安全檢查。然後坐在登機集前面坐着等到登機時間開始，無無聊聊。而且內陸機非常便宜，時間隨便挑選。所以那是對美國第一個感覺，就是一個非常安全，輕鬆和自由的地方。那麼大的國家，人們可以隨便四處探索和旅遊。 那次遊玩的最後一站就是洛杉磯，還記得和弟弟在洛杉磯的各個旅遊景點拍照，飲飲食食，到親戚朋友家遊玩，過得還是非常輕鬆自在。隨着遊玩的時間差不多完結，到了八月上旬，正式開始在洛杉磯附近仔細探索一下那個環境，找一下以後租住的地地方，認識一下校園，了解一下那一個將會逗留起碼五年地方的環境。 由於是博士班開始的第一年，數學系舉辦了一些暑期的「補習班」，希望所有新入學的同學都不會忘記了自己以往幾年前所學到的數學基礎。大約在八月中的時間，那些「補習班」正式開始。主要分上午課和下午課，分別討論一些線性代數和實數分析。課堂並沒有任何功課，也沒有考試的。因為整個課程的目的並不是真的測試同學對那些基本數學的認識（也可能是由於已經把你收了進來修讀博士班，對同學的數學基礎也有一點信任），而是希望同學在真正開課之前可以有多一點心理準備，認識一下你將來的同學，和一起和你研究的朋友，也看一下其他人數學底子如何。自己覺得，這些「補習班」，也希望一些亞洲過來的同學可以多認識一點本地的同學，在真正融入美國生活之前，當練習一下自己的英語，希望在開學以後，和幫忙負責一些本科生同學的討論班時，不會沒辦法跟他們溝通。而且，所有博士班的同學，也需要在第一學年裏面通過一個叫做Basic Exam的Qualifying Exam。所考的題目水平，可能只被...
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計算數學入門系列 - 距離函數（三）

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  一般來說，找出曲線的距離函數的表示方式並不簡單。舉個例來說我們如果想表示一個橢圓形， 最簡單的隱性表示方式就是找 \(f\left(x,y\right)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\)。 但是計算一下，就可以知道他並不是一個距離函數。 甚至乎，\(f\left(x,y\right)=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}-1\)畫起來有點像，可是仍然不是我們想找的距離函數。 Figure 6. "ellipse1.jpg". An implicit representation of an ellipse. a = 0.25; b = 0.7; f=sqrt(x.^2/a^2+y.^2/b^2)-1; contour(x,y,g,30); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1]) hold on contour(x,y,g,[0 0],'k--') colormap('jet') print -djpeg ellipse1.jpg 在Figure 6 可以看到，我們要找的橢圓形附近，y方向的等高線相對比x方向距離比較遠。要找出橢圓形的距離函數，我們就必須 要從每一個meshpoint找出在橢圓上距離最短的距離。 Figure 7. "ellipse2.jpg". The signed distance function representation of an ellipse. [m,n]=size(x); f = @(theta,x0,a,b) (x0(1)-a*cos(theta)).^2+(x0(2)-b*sin(theta)).^2; x0=zeros(1,2); for i=1:m for j=1:n    x0(1)=x(i,j);    x0(2)=y(i,j);    theta0 = atan2(x0(2),x0(1));    theta_s = fminsearch(@(theta) f(theta,x0,a,b),theta0);    sdist(i,j) = sign(sdist(i,j))*sqrt(f(theta...
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計算數學入門系列 - 距離函數（二）

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  而這個圓形的其中一個隱性表示方式，可以首先構造函數\(f(x,y)=x^2+y^2-1\)，然後找出這個函數等於零的地方。可以得到f(x,y)=0，就是說 \(x^2+y^2-1=0\)，所以 \(x^2+y^2=1\)，然後就找到了在圓形上面所有點所需要符合的數學方程式。 Figure4."circle4.jpg". An implicit representation of a unit circle. x=[-1.1:0.01:1.1]; [x,y]=meshgrid(x,x); f=x.^2+y.^2-1; contour(x,y,f,50); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1]) colormap('jet') hold on contour(x,y,f,[0 0],'k') print -djpeg circle4.jpg 雖然說是一個隱性的表示方式，但是MATLAB裏面指令contour 還是可以把函數f 等如0 的地方找出來。我們是需要在第四個輸入指出所需要繪畫的水平線就可以了。 在這幅「等高線」contour的圖上面，我們可以看到這些代表着函數值的不同線相距並不相等。比較接近圓心的， 函數比較平，代表着他的斜率相對比較少。越往外圍走， 線與線之間的距離越密，代表着他的斜率相對比較大，函數的值越升越快。 前面提到，上面這個函數f只是其中一個隱性的表示方式。 如果我們希望函數的斜率 在不同的地方不會有太大的改變，我們可以在設計這個函數的時候希望他的斜率可以被控制，比如說我們希望「斜率的值等於1」。這裏要再仔細定義「斜率」。在一般微積分裏面，我們知道斜率就是一個函數的導數。可是我們現在看見的函數並不只有一個變量，所以這裏所講的斜率，其實是函數f梯度 （Gradient） 的長度，數學上來說就是 \( |\ \nabla f| \)。 用圓形作為例子，我們可以選取 \(g\left(x,y\right)=\sqrt{x^2+y^2}-1\)。同學們如果有修讀過多元微積分，可以計算一下這個函數g梯度的長度。 Figure 5. “circle5.jpg”. An implicit representation of a unit circle using the s...
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