計算數學入門系列 - 距離函數（二）

 

而這個圓形的其中一個隱性表示方式，可以首先構造函數\(f(x,y)=x^2+y^2-1\)，然後找出這個函數等於零的地方。可以得到f(x,y)=0，就是說 \(x^2+y^2-1=0\)，所以 \(x^2+y^2=1\)，然後就找到了在圓形上面所有點所需要符合的數學方程式。

Figure4."circle4.jpg". An implicit representation of a unit circle.

x=[-1.1:0.01:1.1];

[x,y]=meshgrid(x,x);

f=x.^2+y.^2-1;

contour(x,y,f,50); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1])

colormap('jet')

hold on

contour(x,y,f,[0 0],'k')

print -djpeg circle4.jpg

雖然說是一個隱性的表示方式，但是MATLAB裏面指令contour 還是可以把函數f 等如0 的地方找出來。我們是需要在第四個輸入指出所需要繪畫的水平線就可以了。 在這幅「等高線」contour的圖上面，我們可以看到這些代表着函數值的不同線相距並不相等。比較接近圓心的， 函數比較平，代表着他的斜率相對比較少。越往外圍走， 線與線之間的距離越密，代表着他的斜率相對比較大，函數的值越升越快。

前面提到，上面這個函數f只是其中一個隱性的表示方式。 如果我們希望函數的斜率 在不同的地方不會有太大的改變，我們可以在設計這個函數的時候希望他的斜率可以被控制，比如說我們希望「斜率的值等於1」。這裏要再仔細定義「斜率」。在一般微積分裏面，我們知道斜率就是一個函數的導數。可是我們現在看見的函數並不只有一個變量，所以這裏所講的斜率，其實是函數f梯度 （Gradient） 的長度，數學上來說就是 \( |\ \nabla f| \)。 用圓形作為例子，我們可以選取 \(g\left(x,y\right)=\sqrt{x^2+y^2}-1\)。同學們如果有修讀過多元微積分，可以計算一下這個函數g梯度的長度。

Figure 5. “circle5.jpg”. An implicit representation of a unit circle using the signed distance function.

g=sqrt(x.^2+y.^2)-1;

contour(x,y,g,50); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1])

hold on

contour(x,y,g,[0 0],'k')

colormap('jet')

print -djpeg circle5.jpg

我們可以看見Figure 5 等高線的距離都是一樣，這個就是由於我們限制了函數g梯度的長度。 由於\(|\ \nabla g|=1\)，函數g 的數值代表了他離開g=0 這個水平線的距離。而且，因為在半徑唯一的圓形以外的數值都是負數，外面的都是正數，這個函數g 我們就叫做距離函數 Signed Distance Function。