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20200718 想法源起 20200719 我們在做什麼（一） 20200722 我們在做什麼（二） 20200725 竟然成為數學家（一） 20200729 竟然成為數學家（二） 20200801 竟然成為數學家（三） 20200805 不同職級（一） 20200808 不同職級（二） 20200812 趕客系列（一）為什麼讀大學？ 20200815 趕客系列（二）不同大學學位跟工作的關係 20200819 趕客系列（三）大學的目的 20200822 趕客系列（四）大學為什麼要有主修 20200826 趕客系列（五）要挑選一個什麼樣的主修 20200829 沒有無緣無故的恨（一） 20200831 科普系列 - 數學與電影動畫製作（一） 20200902 沒有無緣無故的恨（二） 20200905 沒有無緣無故的恨（三） 20200907 科普系列 - 數學與電影動畫製作（二） 20200909 終身職位的評核 20200912 學術界吸引人的地方 20200914 科普系列 - 數學與電影動畫製作 （三） 20200916 學術界辛苦的地方（一） 20200919 學術界辛苦的地方（二） 20200921 科普系列 - 數學與電影動畫製作 （四） 20200923 大學的讀書成績有多重要 20200926 本科生研究機會 20200928 科普系列 - 數學與圖像修復（一） 20200930 用創新的方法去教育科學 20201003 參加研討會的重要 20201005 科普系列 - 數學與圖像修復（二） 20201007 教授與教學 20201010 研究是什麼（一） 20201012 科普系列 - 數學與圖像修復（三） 20201014 研究是什麼（二） 20201017 研究是什麼（三） 20201019 科普系列 - 數學與圖像修復（四） 20201021 如何閱讀研究論文 20201024 研究生應該修什麼課 20201026 科普系列 - 數學與圖像修復（五） 20201029 本科生的多主修多副修 20201102 科普系列 - 數學與數獨（一） 20201105 幾位教授（一） 20201109 科普系列 - 數學與數獨（二） 20201112 幾位教授（二） 20201116 科普系列 - 數學與數獨（三） 20201119 幾位教授（三） 20...
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科普系列 - 數學、社會隔離與生命遊戲（二）

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這個模型相當簡單。裏面只需要運用一些判斷（Conditioning）的技巧，經過時間的演變就會發覺隔離現象的出現。一般同學，都可以了解運作的原理，用一點點時間就可以編出一個電腦程式去模擬這個隔離的現象。 任何數學模型開始時都必須要清楚定義一些假設及設定。假設我們希望了解在社區內兩個不同群體的隔離現象。而我們有興趣的社區是一個在二維空間裏面的一個正方形區間（所以我們不會考慮一些40層高大廈，不同單位對整個社區的影響）。這個區間裏面都蓋滿了平房，道路都縱橫交錯，將整塊區域分隔成一小格一小格的。所以這塊土地，從高空看起來，就好像一張圖像似的。圖像內都是一個像素點，一個像素點的。每一個像素點就代表着一幢平房。平房裏面所住的家庭都用一個標籤界定。由於我們假設在這個社區內只有兩個不同的群體，我們就用標籤A跟標籤B表示這兩個不同的背景群體。所代表的，可能是貧與富，也可能是華人與白人，也可能是喜歡自由黨或喜歡民主黨的。標籤A和標籤B所真實表示的，在這個最簡化了的模型上面並不重要。到後面如果需要在這個模型上加以演變，標籤所代表的才會有少許分別。所以數學上，這個社區內所有的標籤，我們都可以用一個矩陣外表是，我們將它寫X(i,j)。這一個矩陣X裏面這個成員X(i,j)，我們可以用1表示這個平房內的家庭有着標籤A，用2表示這個房間內家庭都有着標籤B。而如果這個房子還沒有成交，沒有人居住，我們就可以用0表示。 這裏是一個簡單的初始情況。假設我現在有一個100×100的區域。裏面40%的家庭標籤為A，另外40%的標籤為B。所以整個區域內有20%的房子是空着。剛開始的這個社區並沒有隔離現象，所以標籤A跟標籤B出現的地方都是隨機的。用圖像代表是，我用紅色畫出標籤A所在的像素點，用藍色代表着標籤B家庭住着的房子。而綠色的就是沒有人居住的地方。由於剛開始出現時，不同標籤出現的地方都是隨機，所以可以看見並沒有任何隔離現象的出現，分布都相當平均。紅色和藍色的都沒有聚在一起。 那隔離現象到底是如何出現的呢？Schelling指出，社區內的家庭只需要每人有對鄰居的喜好，隨着時間過去，家庭從一房子搬到另一個居住地方，隔離現象就會自動出現。而這個喜好本身並不需要非常強烈，只需要有那麼一點，我們就會看見不同群眾會自動聚在一起。 跟圖像處理那一系列文章一樣，我們也需要定義「鄰居」在這應用上的解釋。最簡單，我們可以用上...
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新聞短評

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話說政府新一年施政報告提到，將會放20億元招聘世界科研和創科學者到香港。目的是希望幫助香港的科研和創科發展。 要做研究，當然錢越多越好，人才越多越好。話說兩年前施政報告已經「用了280億元發展創科」 。可是在國際上科研和創科出色的人才，錢，並不是唯一最主要為什麼他要來香港的原因。很多時候，還是要想，我來了這裏，是否有一個環境可以幫助我長遠事業的發展。我放棄了外國的東西，來到香港，是否可以做到一些我喜歡做的事？我有新的想法，是否很多不合理的政策妨礙我？ 還是會有不同的配套，幫助我事業發展？香港這些年來所謂創科的發展，根本沒有看見一個什麼好的土壤。用了那麼多錢，成立了一個創科局。這幾年也聽不到他有任何貢獻。 一個經常跟外國朋友說的例子， UBER在香港竟然是非法的。每一個海外朋友聽到時都不敢相信。一個已經存在了這麼久的行業，在香港仍然沒有一個什麼政策幫助他的發展。  這個新聞有兩個比較特別的地方。第一個，根據星島日報報道， 20億元是已經包括了政府對大學每年的撥款和外界捐款。 明報報道就說，這些錢其實是由創科局、教育局和各大學出資的 。到底政府實質額外投放了多少錢做這個項目呢？根據政府新聞處自己發表的資料 ，「預留約每年1.9億元經常開支，支持研究資助局增設三項恆常的傑出學者計劃」。 不是吧，說了這麼多，額外兩億元可以如何幫助香港的科研發展？  更重要的是另外一個問題，根據明報報道，這個特別資助計劃將會由學者，創科業界和政府組成的委員會評審。所以是否就是說，大學現在招聘新教授，如果需要用到這個由大學自己有份出錢的項目，需要由校外人士評核他？ 香港真係好支持科研和創科發展。
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我的上莊經歷（一）

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自己每一年在新生輔導時都會問他們有沒有興趣「上莊」（就是說組織學生學會，成為幹事會成員）。然後很多時得到的回答，都是說，上裝會很忙，沒有時間，又要付很多錢。自己都明白可能由於「老鬼文化」，要上莊可能亦不是一件那麼容易的事。上莊都必須要付出很多的心機，去計劃一下每年的活動安排，也要應付來自不同地方的挑戰。所以如果同學有想過這個事情，我已經覺得很好了。只要他們會多花時間參與課外的一些活動，我覺得在大學時期有所得着了。 我的上莊生活 回想自己在大學時期，也跟一班同學一起上莊。對，我曾經是科大社二翱峰的莊員（就是說幹事會成員）[ 1 ]。還記得自己剛入科大那一年，我想應該有差不多10位都是從南官（南屯門官立中學）入科大不同學系的舊同學。由於是從屯門到科大就讀，那時基本上一定會有宿位。有好幾個舊同學亦都同一時間被分配到Hall 2。有一天其中一個朋友問我有沒有興趣一起上社二那一支莊，那個時間其實真的沒有想太多。因為剛剛入大學，有太多不同的事情需要熟習，根本沒有時間再去想是否會組織學會。但是，既然是朋友邀請，如果有機會，跟舊朋友一起組織在科大的活動，自己又覺得也不錯。所以其實，亦都是誤打誤撞認識了一大班在科大不同學系和有着不同背景的一些朋友。那一年，社二莊員一共有16位幹事，來自南官的就有四位了。除了我以外，外務副主席，Promotion Sec和Recreational Sec都是我的舊同學。 同一個幹事會裏面，Dr. Karen Mak亦在裏面。所以那一屆幹事會人才濟濟。 我們上莊以前是否需要花很多時間拉票呢？現在想起來也真的沒有太多記憶。我應該從來沒有「走過堂」和Tutorial，甚至乎功課當然也交足。宣傳活動想來想去也真的沒有太多。可能也只是在電梯旁發發傳單，介紹一下自己的莊員，介紹一下自己，希望當選成為社二翱峰的莊員。可能那個時候科大還是非常新，沒有所謂的學會傳統。我們基本上從來沒有任何關於Chanting的行為，也從來不需要花很多時間去建造一件很大的宣傳物品參加Pro-P（Promotion Period）的比賽。我們也沒有需要做2-30次AGM（Annual General Meeting）去得到認同才可以上莊。所以自己那個時候組織學生會，可以說是相當輕鬆自在，也不需要花很多時間和金錢就可以得到一個Title。 自己在莊裏面是非常不活躍的一員。大家都明白，作為一個...
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科普系列 - 數學、社會隔離與生命遊戲（一）

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應用數學的目的，是希望用數學的方法去了解或解釋一些在日常生活上面看見的問題。中間的過程有好幾步，首先我們需要將日常生活上面見到的問題作出一些設定或者假設，將生活問題幻化成一個數學問題。這個問題可能不會有一些簡單的數學解決方法，所以我們必須要作出一些簡化，令到這個數學問題可以有一些相對比較簡單的解。當然這些解可能將問題過分簡化，在日常生活上，就不會提供到太多重要的解釋。要洞察到這個問題的本質，我們可能需要將這個過分簡化的數學問題作出相應的演變，令到得出來的解更符合日常生活所觀察到的。這一個簡化，解答，再跟生活觀察比較，然後將問題演發再解答的過程，叫做「數學建模」。 這個數學建模的過程在很多不同範疇裏面都可以見到。在這篇文章裏面，我們找來一個在經濟學上的應用，看一下到底數學如何用來解釋在社會學上的隔離（Segregation）現象。所謂社會隔離（Social Segregation），就是指我們在社會上很多不同情況下都會看見一些群眾自我分隔的行為。比如說不同城市，我們都可以看見富人區跟貧民區自動分隔開來。政府當然不會有一些主動的政策將人們分開，可是人們會「自動自覺」，富有的人會更富有的人居住在一起，相對貧窮的人自自然然會走在一起。當然每個社區的人口分布，或者每個城市的歷史背景不同，都會影響到這些貧民區的出現。可是，會不會有一些數學的模型，可以嘗試解釋這個問題的出現，然後可以令我們制定到一些可以幫助貧困人口的政策呢？ 另外一個例子，就是在不同國家，不同城市我們都可以看見一些因為種族而出現的小社區。譬如說在美國不同大城市我們都會看見中國城（China Town），日本城（不是說那個$10商店，而是Little Tokyo），越南城等等的小社區。圖內可以看見在洛杉磯不同地區人口種族的分布 [ 1 ]。可以看見大部份區域都是西班牙裔（Hispanic，其實是墨西哥裔），在洛杉磯市中心東面，可以看見一群亞裔人士的居住地。那個Monterey Park，Alhambra，一直到Acadia的地區就是新的中國城，裏面居住着大部份華人。還記得在UCLA唸書時，我們一班香港來的同學，差不多每一個星期都會往哪個地區跑一次，到港式茶餐廳吃一下焗豬扒飯，喝一杯凍檸茶，或者到那邊「飲茶」吃一下點心，都是我們每星期不可或缺的生活。當然這些因為種族關係而出現的小社區，不單在洛杉磯可以找到，在美國大部...
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幾位教授（三）

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Prof. Jianliang Qian 反而在博士研究的時間，花了最多時間和Stan的那時候的一個博士後Prof. Jianliang Qian [ 1 ] 一起做研究。所以如果看研究成果，Jianliang也可以說是我半個指導老師。那個時候其實他提議我一起做一些關於高頻波（High Frequency Wave Propagation）計算的問題。裏面亦都用了一些水平值計算。由於自己對這研究方向就蠻有興趣，而Stan亦沒有太大的反對，所以我們就一起做了好幾篇關於高頻波計算的文章。然後我就提議不如我們做一些相關的反問題。由於我們有一些很好的前向問題計算方法，在解決返問題是就能有很有效率的解決辦法。以探石油為例子，如果地底下面的土壤結構是已知的，我們就可以在計算區域內找到所有的聲音傳播速度。所以正向問題的例子，就是說重計算邊界的一點聲音傳播到另外一點的時間是什麼。而相對應的反問題，就是問，我們可不可以從這些聲音傳播的時間找出區域內每一點聲音傳播的速度。 由於這幾篇反問題的文章，亦令到我有機會第一次到侯斯頓參加一個地質學的學術會議。因為舉辦會議的組織是Society of Exploration Geophysicists（SEG），我譯作勘探地球物理學家協會，這個經歷讓我看見不同研究領域的人一些不一樣的研究方式。他們大部份所做的例子，都是從真實探油的數據所獲得，而我們做的例子大部份都是一些很簡單自己做出來的數據。所以看起來，我們做的研究就好像玩具模型一樣，看起來非常簡單。而他們所做的，就是一些實際應用上面得到的例子，對人類生活可能有更重要的影響。可是對我而言，研究的目的是去建立一些新的知識，重點並不一定在於測試是數據是否充滿噪音，或者是否從實際生活上拿過來。後來Jianliang跟我仍然繼續設計不同關於高頻波計算的方法，也做了好幾篇有意思的研究論文應用到波方程（Wave Equation）以外譬如薛定諤方程式（Schrödinger Equation）的計算方式。這些都對我日後的研究方向有很大的影響。 Prof. Hongkai Zhao 前面提到好幾次我跟UC Irvine的淵源，那時候博士課程畢業在找博士後的時候，剛巧UC Irvine的Prof. Hongkai Zhao [ 2 ] 在找博士後。他是2007年第七屆馮康數學獎的得主 [ 3 ]（同年的得獎者也...
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科普系列 - 數學與數獨（三）

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總括來說，我們到現在為止一共收集了64條方程式，裏面一共有64個不同的變數。看起來好像方程式的總數跟要解決的變數數目是一樣，我們可能馬上就會猜想可以從這個64元一次方程組裏面找到解決這個Shidoku的答案。我是這裏有個問題， 64條方程式裏面其實並不包括任何有關遊戲開始時所給予的任何提示。所以我們根本不可能從這64條方程式裏面找出一個解。我們要解決的線性代數問題，其實是必須要從這64條方程式裏面再加上開始時提到的提示，所以假設遊戲開始時有\(N_c\)個提示，我們要解決的方程組就會有\(64+N_c\)條方程式。 這一段的討論，可能需要有一點數學的背景。如果同學有修讀過本科生的線性代數，另外一個數學問題，就是左手邊的矩陣並不是Full Rank的。如果我們並沒有任何提示（是說 \(N_c=0\) ），左手邊這個64×64的矩陣，Rank只得40。所以這代表着，如果這個代數問題需要找到唯一的解，我們就必須起碼多加上24條linearly independent的橫行。這樣，我們才可以找得到一個Full Rank的問題然後得到一個唯一的解。根據同樣的演示方式，一個9×9的數學問題，我們可以把它還化成一個 \(324+N_c \)的方程組，而每一條方程式都會有729個未知數。不理會遊戲開始時所給予的提示，那一個324×729的矩陣，Rank只會有249。也就是說，我們必須要多追加起碼729-249=480條linearly independent的橫行，我們才可以找得到一個Full Rank的問題然後得到一個唯一的解。 當然，在Shidoku這個遊戲裏面，一共只有16小方格，所以根本沒有可能多加24條方程組給那個線性代數問題。在Sudoku裏面，要有另外480條提示也非常之不合常理。所以在這個討論裏面，有什麼問題呢？ 最主要的問題，是在本科生的線性代數討論裏面，我們容許答案存在於高維空間裏面的任何數值。要記得，我們這個演示方式只容許每一個未知數不是等於0就是等於1。所以，我們其實只容許答案存在於一個很小的空間裏面。雖然說很少，這些非0即1的答案，卻會有\( C_{16}^{64}=4.8853\times{10}^{14} \)（Shidoku）或者 \(C_{81}^{729}=1.2950\times{10}^{109} \)（Sudoku）個。由於可能的答案數目相...
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幾位教授（二）

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Prof. Stanley Osher 至於自己的研究指導老師Prof. Stanley Osher [ 1 ]，其實有在科大碰過面。在美國的第一年，也認識Stan做的研究課題。知道他是計算流體力學的專家。有很多計算方法也用他的名字命名。自己在科大碩士時做的研究，也見過他的名字。所以在學術界上面Stan是非常有名的。記得在UCLA讀完第一年，暑假回到科大跟碩士時的指導老師許為厚教授作研究員，嘗試再把以前碩士時做的東西多做一下，看看有沒有一些研究成果出來（很可惜是沒有）。那個暑假，Stan剛巧也在科大訪問。所以找了一天，膽粗粗的，走到他辦公室裏面跟他聊天。跟他說我也是在UCLA的博士班。那當然，他完全不知道UCLA的學生有誰。所以聊了一會，也沒有太多話題，然後我就離開了。離開以前，他只是要我把名字寫在白板上，我猜想或許他之後就跟鄭紹遠教授或者許為厚教授問了一下我的背景說不定。由於對他做的研究方向很有興趣，所以那個暑假也特別找來了一些關於水平值計算的研究文章來看一下，看看到底是什麼一回事。 Stan的研究範圍非常廣，不單每隔幾年都會從一個研究方向轉到另外一個研究方向，而且每一個研究方向他都會有一個非常大的發現，對整個發展的方向會有重大而且深遠的影響和改變。前面提到他對計算流體力學研究的貢獻，之後，他已經跳到水平值計算方面。所謂水平值計算，是一個數值方法去代表一個運動中的介面。通過不同運動的模式，這個介面將會隨着時間的過去形狀而會有所不同。比如說，你在模擬一個氣泡在水裏面運動的過程，不可避免地需要有一個介面表示方法去代表着介面的位置。由於水流的關係，這些氣泡有可能將會幾個融合在一起，也有可能從一個大氣泡變成很多小的氣泡。所以介面表示方式就必須要能夠簡單而且容易地去改變他的狀態。這個研究方向，亦都慢慢從流體力學那方面，發現到很多不同的應用。而自己的一個主要研究方向，正正是運動中介面計算的方式。在我唸博士班時， Stan都從水平值方法的應用，跳到圖像處理的研究方面。那時候，他剛剛發現到一個辦法解決自己以前圖像處理方法裏面的一個問題。他設計的ROF （Rudin-Osher-Fatemi）方法應用在圖像去除噪音的問題試後，會發現圖像裏面有部份資訊會同一時間被消除。所以在去除噪音後，除了噪音亦有某一部份圖像的訊息會不見了。那個時候剛巧他從一個優化問題的解答裏面發現了解決自己問題的...
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科普系列 - 數學與數獨（二）

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這個方法的第一步，是需要把這個數獨遊戲的問題作出改變，將他變成一個我們有其他方法解決的數學問題。這種解決問題的辦法在數學界非常常見。如何把一個問題重新寫成另一個我們可以解決的問題，這需要數學家對問題掌握的能力和他對不同數學範疇的理解。 為了簡化之後的討論，我們先從一個比較簡單的數獨遊戲着手。我們考慮一個4×4 數獨遊戲，英文叫做Shidoku。遊戲原理跟9×9的一樣。只是我們要填進去方陣的數字改變為一到四。遊戲條件裏面的九個宮就改變為四個宮，每個宮的定義也改變為一個2×2的小方塊。每一個方陣的數字我們會用x(i,j)表示，代表着由上面數起第i橫行，又左手面起第j直列的數值。這個數值是從一，二，三和四裏面挑選。這個表是發，我們只需要儲存起最多 16個小格的數字。當然並不是所有16格的數字我們都從一開始便知道，所以如果真的需要在電腦裏面儲存起這個數獨，我們可以用一個拉丁方陣的表示方式，只需要儲存i，j，和在這個位置相對型的的值。用左手面這個例子，我們只需有用一個8×3的方陣就可以代表這個遊戲。八，是由於我們有八個提示。三，是由於相對每一個提示，我們必須要儲存三個數字。 1,4,3 2,1,3 2,2,2 2,3,4 3,2,4 3,3,3 3,4,2 4,1,2 這個表示方式聽起來好像要儲存的數字比原來的更多，可是在原來9×9的數獨遊戲裏面，我們只需要用N×3的方陣就可以代表一個遊戲。如果遊戲給予的提示是少於27個，這個新的儲存方式所需要代表的數字就比原來的小。 我們也可以用標籤作為一個遊戲的表示方式。由於每一格的數字都必須是由一到四其中一個整數，除了把這個數值儲存起來，我們也可以想像在每一小格向上延伸多四個小格，標示着這個遊戲小格所代表的數字。數學上來說，我們假設x(i,j,k)是小格x(i,j)是否等於k的表示。如果x(i,j,k)=1，就是說x(i,j)=k。如果x(i,j,k)=0，就是說x(i,j)≠k。以上邊x(1,4)這方格為例。由於所給的提示說這方格儲存的數值為3，所以這個用標籤作為表示的方式，我們得到x(1,4,1)=0, x(1,4,2)=0, x(1,4,3)=1, x(1,4,4)=0。又以x(2,2) 這方格為例。由於所給的提示說這方格儲存的數值為2，所以這個用標籤作為表示的方式，我們得到x(2,2,1)=0, x(2,2,2)=1, x(2,...
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幾位教授（一）

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在美國讀書時碰到過很多不同的教授，這裏分享一下認識其中幾位的經過。 在UCLA的第一年的時候，因為收了很多不同的研究生課，所以，其實都比較認識學校裏面各位教授自己的研究課題。有一些是特別解釋老師研究的科目，也會有一些博士後講解自己以及他們指導教授的一些研究。裏面就有提到水平值計算（Level Set Method），Hamilton-Jacobi Equations的數值方法以及一些關於圖像處理的科目。而這些題目都跟現在我自己的研究多多少少有一點關係。 Prof. Russel Caflisch 除了有博士後教的研究生課外，也有一些學系裏面教授所教導的科目。所以通過這些課，我們就有機會了解老師的研究題目和有機會親身接觸一些教授去認識他們的性格。記得Prof. Russel Caflisch [ 1 ] 教過我3門有關線性代數計算方法的科目。他研究的題目不在這範疇裏面，所以基本上我們也知道在這幾門科目裏面沒有辦法接觸到在這研究範疇裏面最前瞻的課題。可是我比較喜歡他講課的風格。他準備得不是太多，可是你都可以看到他每一堂課都會準備一張小小的「貓紙」，讓自己記得那一堂課要講解的題目。雖然不太流暢，但是他會有自己的節奏。功課及考試都會是一些很特別的問題，我們都會需要花很多時間去把背後的思想弄清楚才有辦法辦理些問題解決。所以特別喜歡他教學。Russ的研究有好幾方面，他有一門科目就是去解釋自己的研究項目，裏面有提到一些關於金融數學和Monte Carlo Simulation的課題。可是自己對這方面沒有太大的興趣，所以雖然我非常喜歡他做事和與學生交流的方式，自己卻沒有太大的興趣跟他一起做研究。 雖然沒有找Russ作為自己博士研究的指導老師，可是我們還是有很多機會在不同的地方有合作。在2011年科大開始跟UCLA Institute of Applied and Pure Mathematics（IPAM）合作，舉辦了一個本科生暑期研究活動。每年有大約八名美國不同地方的本科生會跟我們科大找來的八名本地本科生，分成四組去做一些本地公司提供的本科生研究項目。而在舉辦那研究項目時，Russ就曾經是IPAM的主任（Director）。所以我們都會有很多不同的溝通，研究怎樣可以把我們的活動搞得更好。而在去年九月，自己也曾在波蘭的一個會議上碰到他。那時他已經從西岸搬到東岸，成為了NYU Cou...
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科普系列 - 數學與數獨（一）

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除了電影和圖像處理這些比較可以直接用肉眼看見的數學應用外，還有一些無論是在媒體上，還是從不同用家口中，都經常提到的一些可以聲稱段練數學思維的遊戲。在這一篇文章裏面，希望可以「從遊戲中學習」，透過討論一些遊戲裏面可能會用到的數學，介紹一下一些比較抽象的數學工具如何可以應用在日常生活裏面。 遊戲也可以用來吸引大眾對數學的興趣。其中一些遊戲，包括了題目所提到的「數獨」（Sudoku）[ 1 ]。相信大家也有玩過這個遊戲。遊戲開始時，將會在一個九格乘九格的Excel數表內給予一些從一至九選定的數字。這一共81個小方格，遊戲會用三種不同的方法將他們聯繫起來。第一款是橫行（Row），第二款是直列（Column）。所以每一個數獨遊戲，一共會有九個橫行，以及九個直列。第三款是一些三格乘三格的宮（Cell）。遊戲考慮的一共有九個宮，包括最左上角的3×3小方格，最想三行中間的3×3小方格，最右上角的3×3小方格，然後是中間三橫行會分成三個宮，最後是下面三行亦都會分成三個宮。遊戲的目的，遊戲玩家必須要把剩餘的空格填滿，令到每橫行，每一直列，和每一個三格乘三格的宮，都有一至九這九個數目字。由於每橫行，每一直列，和每一個三格乘三格的宮，一共有九個小方格，所以我們填進裏面的九個數目字都不會重複。 遊戲剛出現時，經常會聽到不同報道都說這遊戲可以訓練玩家的邏輯思維，數學能力等等。說起來好像很厲害似的。可是想來想去，也想不出到底數學的訓練在哪裏。簡單的來說，對訓練玩家的推理能力應該也有一定的關係，可是從數學的角度上來看，可以有什麼更加直接的關連呢？如果從一個數學研究的角度來看，應該可以做出一些什麼樣的數學結果呢？ 這遊戲的出處好像已不可考[ 2 ]，但在數學歷史裏面，有一個相關的數學問題叫做拉丁方陣（Latin Squares）[ 3 ] 由非常出名的數學家歐拉（Euler）[ 4 ] 所討論過。拉丁方陣的設計，比數獨遊戲「簡單」了一點。給予一個N×N的方陣，拉丁方陣的數字並不需要遵從與「宮」相關的那個限制，而只要每一橫行以及每一直列都填進了一至N的數字令到他們不會重複。由於數獨比拉丁方陣多了一個需要滿足的條件，所以所有數獨的答案，都是一個拉丁方陣。由於數獨遊戲多了一個條件，而且玩法亦不單單只是把整個拉丁方陣列出來，而是從一些已經給定了的條件裏面找出一個滿足遊戲三個條件的答案。這遠比確定了N，然後找...
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