科普系列 - 數學、社會隔離與生命遊戲（二）

這個模型相當簡單。裏面只需要運用一些判斷（Conditioning）的技巧，經過時間的演變就會發覺隔離現象的出現。一般同學，都可以了解運作的原理，用一點點時間就可以編出一個電腦程式去模擬這個隔離的現象。

任何數學模型開始時都必須要清楚定義一些假設及設定。假設我們希望了解在社區內兩個不同群體的隔離現象。而我們有興趣的社區是一個在二維空間裏面的一個正方形區間（所以我們不會考慮一些40層高大廈，不同單位對整個社區的影響）。這個區間裏面都蓋滿了平房，道路都縱橫交錯，將整塊區域分隔成一小格一小格的。所以這塊土地，從高空看起來，就好像一張圖像似的。圖像內都是一個像素點，一個像素點的。每一個像素點就代表着一幢平房。平房裏面所住的家庭都用一個標籤界定。由於我們假設在這個社區內只有兩個不同的群體，我們就用標籤A跟標籤B表示這兩個不同的背景群體。所代表的，可能是貧與富，也可能是華人與白人，也可能是喜歡自由黨或喜歡民主黨的。標籤A和標籤B所真實表示的，在這個最簡化了的模型上面並不重要。到後面如果需要在這個模型上加以演變，標籤所代表的才會有少許分別。所以數學上，這個社區內所有的標籤，我們都可以用一個矩陣外表是，我們將它寫X(i,j)。這一個矩陣X裏面這個成員X(i,j)，我們可以用1表示這個平房內的家庭有着標籤A，用2表示這個房間內家庭都有着標籤B。而如果這個房子還沒有成交，沒有人居住，我們就可以用0表示。

這裏是一個簡單的初始情況。假設我現在有一個100×100的區域。裏面40%的家庭標籤為A，另外40%的標籤為B。所以整個區域內有20%的房子是空着。剛開始的這個社區並沒有隔離現象，所以標籤A跟標籤B出現的地方都是隨機的。用圖像代表是，我用紅色畫出標籤A所在的像素點，用藍色代表着標籤B家庭住着的房子。而綠色的就是沒有人居住的地方。由於剛開始出現時，不同標籤出現的地方都是隨機，所以可以看見並沒有任何隔離現象的出現，分布都相當平均。紅色和藍色的都沒有聚在一起。

那隔離現象到底是如何出現的呢？Schelling指出，社區內的家庭只需要每人有對鄰居的喜好，隨着時間過去，家庭從一房子搬到另一個居住地方，隔離現象就會自動出現。而這個喜好本身並不需要非常強烈，只需要有那麼一點，我們就會看見不同群眾會自動聚在一起。

跟圖像處理那一系列文章一樣，我們也需要定義「鄰居」在這應用上的解釋。最簡單，我們可以用上下左右以及左上，右上，左下，和右下一共八間房子去定義「鄰居」。假設我現在看(i,j)這個地方，他的鄰居將會是這八個，(i-1,j-1), (i-1,j), (i-1,j+1), (i,j-1), (i,j+1), (i+1,j-1), (i+1,j), (i+1,j+1)。要去定義「喜好」最簡單的方法，就是看這八個鄰居有百分之多少是跟我自己的標籤一樣。如果這個百分比太少，我就會搬離這個房子到其他地方居住。那如何定義「太少」呢？最簡單的方法就是設定一個參數。如果鄰居相同標籤的比例少於這個參數，我就會離開。所以當這個參數越小（越接近0），群眾對不同標籤背景的鄰居將會更多包容。而當這個參數越接近1，群眾對不同群體將會更不能接受，而要選擇搬遷。

由於在這個模型內，我們現在討論了「搬遷」這個動作，所以這個標籤分布的圖像我們就必須要加入時間這個軸。表示方式從X(i,j)改變成X(i,j,k)去代表在時間k時，在房子(i,j)所居住家庭的標籤。對於區域內每一個有人居住的房子的像素點，我們在一個時間k時，都可以計算鄰居相似值

Y(i,j,k) =（鄰居內有多少個家庭跟我同樣標籤）÷ （相鄰房子有多少家庭居住）

如果這個數值少於一個參數Y*，這一個位置的家庭在下一個時間k+1時，就會搬到一間空置的房子。而挑選這個空置的房子的方式，我們可以假設是隨機的。當然這個隨機性在現實生活上是不可能，因為當一個家庭挑選一個居住地方是，考慮的因素會很多，包括了社區環境，租金價值，房屋狀態等等。但是為了減少一些複雜情況的討論，在這個最簡化的模型下，這個假設也是合理的。

Y*=0.5

對我顯示了兩個不同的情況。第一個情況是挑選一個相對比較小的參數Y*=0.5。所以每一個家庭都容許附近有一半的鄰居跟我的喜好有所不同。隔離的情況會有發生，但是也不至於太嚴重。可是，當我將參數Y*增加至0.7 ，隨着時間的過去，紅色跟藍色就會隔離開來，成為一塊一塊的形狀。

Y*=0.7