科普系列 - 數學、社會隔離與生命遊戲（三）

基本上這個數學模型已經大致完成，同學已經可以慢慢模擬這個社區的環境如何隨着時間k越來越大時發生改變。這裏可以研究的問題已經有好幾個。這裏我隨便指出幾個。

第一， 這個參數Y*如何影響着隔離的發生。

第二， 是剛起始時標籤A ，標籤B，跟空置房屋這三個的比例，如何影響着最後隔離情況的嚴重性。

第三， 隔離現象出現所需要時間的長短，是如何受到不同參數或不同比例所影響。

第四， 仔細的一點看，我們可以發現隔離區域的形狀很可能會受到不同參數而有所影響。會不會說，參數的席會影響不同區域邊界的長度呢？

第五， 在編寫程式時，會不會有一些更有效率的編寫方式呢？當區域內防止越來越多，我們有時發現程式執行的時間變得非常長。所以對一些編寫程式有興趣的同學來說，程式的執行效率也是一個研究的方向。

上面這幾個研究細項，不需要對模型本身作出任何的改變。上面所有的假設及定義都可以沿用。所以如果同學已經把基本的程式編寫完成，解決上面幾個小問題並不會花太多時間。下面有幾個對數學模型的改變，同學也可改動一下電腦程式，然後看看這些模擬的結果會不會受到很大的影響。

第一， 如何定義「鄰居」。很多時候我們不一定只看貼着我們居住的八個房子，而是可能看得更遠一些。比如說看兩個路口附近的所有房子，我的喜好可能也會受到這一共24個房子的影響。如果每個家庭都看遠丁一點，這樣如何影響這個隔離現象的發生呢？

第二， 社區內每個家庭關於喜好的參數也很可能不一樣。上面定義那個參數Y*為一個常數，不受家庭而有所影響。這個假設可能也不一定完美。反而，更合理的假設，是這個參數會因家庭而變化。我們可以假設這個參數是一個隨機數字跟隨着一個正態分佈（Normal Distribution），而且這個隨機的參數會跟着家庭而搬遷。更複雜一點，這個隨機數字很可能也會隨着時間慢慢改變。始終，人的喜好也可以慢慢被同化。

第三， 當然一般居住區域不可能真的是一個像素點一個像素點這樣的安排。所以如何將居住區域分成不同的形狀，也可能會影響到社會隔離情況的出現。如果我們選用一個複雜一點的區域分割。這個數學模型如何受影響呢？程式編碼時會不會很困難呢？

第四， 不單是「大屋搬細屋，唔見一羅穀」，搬遷本身還是會牽涉金錢。在這個數學模型裏面，我們並沒有考慮任何關於搬遷所涉及的費用。有可能搬遷距離比較遠，費用亦都相對比較多。這個會不會影響社會隔離出現的時間呢？另外一個情況，就是當我們在挑選新居住地時，我們有可能只考慮在原先居住地某距離內的地點。由於我對附近環境還是相對比較熟悉，並不會真的在所有空置房間內隨機找出一個新舊的居住地。

看到這裏，有同學會發覺，這文章裏面提到的「數學」，跟同學在學校裏面看到的可能並不一樣。這裏沒有太多方程式需要解決，沒有什麼定理需要證明。可是這些關於邏輯思維程式編碼等等的問題，我都會把他們歸納為「應用數學」。同學如果在他們的畢業論文用這個題目，我也會非常喜歡。如果讀者需要看見一些等數學一點的討論，亦看過有一篇在PNAS（美國國家科學院院刊）的論文，假設了區域內像素點的數目趨向無限大，然後將這個關於社會隔離的現象連繫到粒子內能量（Internal Energy）的物理概念上 [6]。同學有興趣亦可將文章找來看一看。