計算數學入門系列 - 數值表示方式（二）

通常我們介紹這些實數的標示方式，開始時都會用single precision 作為切入，如果同學有用C/C++， 在設定variable 的時候就會用到float 這一個class ，如果還有人在寫FORTRAN，用的就是real 這一個class。Single precision 只會用4 bytes （32 bits，意思就是說會用32個0或者1） 去代表一個實數。 表示的方式，會是 \( (-1)^s 2^{e-127} 1.f\)。s代表Sign，是32 bits 裏面的第一個bit，用來代表這個數字是正數還是負數，0 代表正數，1代表負數。 然後的1 byte = 8 bits 是e （代表exponent），會先化為一個整數， 再減去127。 剩餘的23 bits，叫作mantissa，每一個bit 的數值會用二進制小數點的數位值慢慢遞減。 例如，這23bits 裏面的第一個bit， 數位值就是½，第二bit 的數位值就是¼，如此類推。

如果e=0，無論s 或者f 是什麼，數值所代表的都是實數0.0。而如果\(e=11111111_{(2)}=255_{(10)}\)，情況就有點不同。如果f=0，數值所代表的就是正無限大或是 負無限大 （根據s 是等於0還是等於1）。而如果f 是其他東西，就是同學最不知所措的NaN （Not A Number）。 通常這些情況，就很可能是同學在編寫程式時有Bug。中間一定有一些在編程時的問題。

舉個例子，\( 1.0 = (-1)^0 2^{127-127} 1.0\) 在single precision 裏面的表示方式是，

\[0 01111111 000000000000000000000000000。\]

那麼，最接近0的正實數是那一個數字呢？ 由於e不可以是0，我們要找的這個數字 的數值表示方式是 \( (-1)^0 2^{1-127} 1.0 = 2-126_{(10)}\)，大約等於\(1.2\times10^{-38}\)。另外一個有趣的問題，是問，最接近1 而又比1大的實數是那一個數目字。 這個數字的數值表示方式是

\[0 01111111 000000000000000000000000001。\]

把它換回十進制，我們得到 \( (1+2^{-23})_{(10)}\) 。 因為這一個數值\(2^{-23}\) 非常重要，我們給了他一個名字叫做machine epsilon，用 \(\epsilon\) 來表示。

從這些例子裏面，我們可以看到兩個很特別的地方。第一個，是我們沒有辦法把數線 上面所有的數目字在電腦裏面表示出來。如果我們用的是single precision，可以想像我們是沒有辦法表示\(10^{-38}\) 這個數目字。當然，大部份情況我們都不需要用到這麼小的一個數字。如果真的有需要，我們可以用double precision 代替single precision。這個表示方式，就不只用4 bytes，而是用到8 bytes。有興趣的同學，可以嘗試在MATLAB 或者Octave 裏面輸入

>> eps

ans =

     2.220446049250313e-16

去找出machine epsilon。就會見到在這兩個軟件裏面的變數就是用了double precision 去表達。其他關於這個表示方式就不在這裏多討論了。 可是由於我們只會使用有限的資源，可以想像能夠表達出來的數字也只有有限的那麼多個。舉個例來說， \(\sqrt2\) 就不可能用上面的方式寫出來。有同學可能會得到這個觀察結果，「哦，根據定義，我們可以表達的當然只可能是有理數 （Rational Number）。這個是無理數 （Irrational Number） ，所以就沒有關係了。」 對，不單如此，因為有理數還是有無限多，可以想像有很多無理數我們還是沒有辦法表示出來。三分之一就是其中一個例子。