教授微積分（一）

 

話說最近網上傳出，科大數學的某個課程中期考的平均分為F，引來大家熱烈討論。可能是批評修讀這門課程的同學水平不足，又或者指責數學系編寫考題太過艱辛，過分挑戰同學的數學能力等等。從自己聽來的消息，所討論的科目為一年級同學所收的第二們微積分課（MATH1014），內容大致上為學習一些積分的技巧，和序列數列的收斂性等等。自己並沒有教授過這門科目，又沒有看過考試題目和教授的筆記和課堂，沒有辦法評論。所以這篇文章的目的並不是嘗試解釋這件事情，也沒有嘗試為學系和教授給出一個說法，更加沒有需要我去解決這個問題。只是希望根據自己的經驗講一下以往教授微積分科目時候所碰到的一些故事。

回想以往的教學經驗，針對着本科生一些入門基礎課程，也做過助教（Teaching Assistant），回來科大以後亦都曾經試過負責教授一個「加速版」的微積分科目。還在科大修讀碩士時，曾經有一個學期幫忙批改數學系多元微積分課程的作業。到了美國修讀博士時，也曾做過一門初等微積分科目（Precalculus）的助教，每星期都要跟同學上輔導班，幫忙一下他們的功課等等。這門初等微積分的程度可能是從函數開始，到limit為止，並不會真正接觸到微積分。同學們的背景包羅萬有，大部份對數學都是敬而遠之，普通加減乘除還是需要運用計算機。要知道他們所運用的計算機並不是香港公開考試規定的那些，而是Taxes Instruments。這部「計算機」嚴格來說已經差不多是一部裝了MATLAB的電腦，它有繪圖功能，可以解決線性代數問題，甚至乎微分方程問題。你們可能想，他們有着這樣子的一部「電腦」來考試，課程對他們來說根本沒有任何問題。可是，實際上，他們根本不知道如何運用這一把「屠龍刀」。應該運用計算機那一個功能解決那一個問題，他們根本完全沒有任何概念。

記得不知道哪裏聽來的一個「笑話」，

-----------------------------

學生說：「計算機運算上出了點錯誤，可能有點問題。」

「為什麼這樣說呢？」助教疑惑着。心想，這麼厲害！竟然找到上市公司儀器的一個錯漏。

「你看一下」，螢幕上顯示着1，「我已經按下這個平方根的符號，但是計算機並沒有任何反應。」他不停按不停按，可是顯示着的數字並沒有任何改變。

-----------------------------

聽到這個故事時還是有點驚訝，猜想自己並沒有嘲笑的意味，反而是不確定故事的真偽。是朋友們編造出來的故事，還是真的見到同學們有這個困惑。雖然不是說朋友是這樣子，但無可否認的是，自己確實聽過某部份助教，甚至乎教授，還是會針對同學們數學上的弱點，加以批評，甚至嘲笑。無論是當面的指出他們的錯處，還是在背後跟朋友分享這些「奇聞異事」，他們都沒有嘗試了解同學們為什麼會遇到這樣的錯誤。

如果是我碰到上面的這個關於計算機錯誤的事情，我會如何處理呢？當下可能也會困惑一會，不知道如何作出反應。經過這麼多年的回想和經驗，我希望自己可以「保持冷靜」，千萬不可以作出任何一點太過分的反應。要馬上嘗試理解為什麼同學們會有這個「誤會」。同學們有這個錯覺，應該是由於他們以往在運用這個按鍵時，螢幕上顯示的數字都會改變，起碼他們知道這個功能是會將數目字的數值作出改變。當他們看到輸入的和經過運算後的都是同一個數字，就會有點摸不着頭腦。覺得自己看到了一個魔術，碰到了儀器出錯的狀況。

其實做數學研究的人，都應該喜歡碰到這個情況。如果你能夠做出一條定理，結論和自己的直覺有點不一樣，這個其實應該是開心的事情。我們做應用或者計算數學的，如果你能夠設計出一個解決數學問題的方法，無論是速度或者是準確度都跟自己想像的進步很多，這不也是像在看一場魔術表演的感覺嗎？

所以同學們有這個錯覺，可能是他對這個符號所作的運算並沒有掌握。可能我的反應，應該是首先會附和一下同學，「哦，為什麼這樣子呢？讓我試一下。」然後我會輸入0，在他面前按幾下平方根的符號。同學們可能會驚訝一下，問為什麼。那樣我就成功吸引了他的注意，我就可以開始解釋到底發生什麼事，講一下平方和平方根，也講一下一元二次方程式的解法等等。當然這個故事的下半還是我自己的幻想，當真實碰見這樣子的情況，我還是可能會被同學殺過一個措手不及，不知如何反應。如何在真實情況下給予同學一個滿分的反應，還是需要一點經驗的累積。有時自己還是會覺得沒有太掌握這些技巧。