關於如何教導微積分（一）

在之前一篇文章，我分享過一些自己以往教授微積分的經驗，裏面提到一些比較奇怪的經歷，講解某部份同學可能準備不足，在修讀微積分時候所遇到的困境。其實這些困難不單在科大出現。在世界其他地方，也有人發現這個準備不足和對他們能力上有所落差的發現。今年三月份Scientific American有人投稿，指出大學的微積分課程必須要改革，而這個改革必須要從數學系以外着手。雖然這篇文章題目也非常不留情面，「To Keep Students in STEM fields, Let’s Weed Out the Weed-Out Math  Classes」，但是從自己的觀察，真的有很多同學對科學卻步是由於微積分的關係。

好幾年前，我們理學院收生並沒有分開A隊和B隊，所有同學進入理學院一年以後可以從所有的主修科目裏面挑選自己有興趣的來修讀。這麼多年的經驗，我們發現越來越多同學會挑選一些「看起來」對數學沒有太多要求的科目。他們會覺得自己數學（就是大學第一年的微積分）成績沒有很好，所以就不應該修讀數學或者物理課程，以去選修一些像化學和生物的學科。可是如果同學仔細看一下這些學系需要修讀的課程，都會發現某些科目都需要大量數學的技巧，而微積分很可能就不可或缺。甚至乎我們有一門海洋科學的科目，其中一個海洋學的Track裏面所需要使用的數學，跟數學系基礎課程其實差不多。由於需要設計數學模型解釋海洋流動，裏面運用到的數學可能是多元微積分，甚至乎一些微分方程或者偏微分方程。

就算同學們對第一年微積分課程沒有太大反感，到二年級修讀多元微積分時候，也可能會發現越來越迷失，根本不知道自己為什麼需要學習這些定理和證明。這些對工程學院的同學更甚，他們可能會覺得將來根本不需要使用這些微積分的知識。將來做工程項目時，最多也只需要在電腦程式內輸入一些參數，按下輸入，電腦程式自動會把需要的答案計算出來。這個「黑盒」裏面所發生的事情，根本不需要知道。某程度上這些想法也是對的。自己也經常舉一個例，就算你不認識微積分，這會對你日常生活有什麼影響呢？我們到超級市場買菜，需要使用微積分嗎？我們看電視，上網，一切生活上的衣食住行，看起來都跟微積分毫無關連。這完全正確，如果我們只滿足在日常生活*使用*一切人類智慧的結晶（例如上網技術，電腦，攝影機圖像處理，甚至乎你所居住的住所結構應該如何等等），微積分可以說是毫無用處。可是如果你想*了解*這些日常生活不可缺少的事情和技術，微積分（甚至是數學本身）都是需要掌握的工具。因為數學就是一門非常精準，不會因為使用者文化背景而有所不同的一種工具和語言。如果我們沒有掌握這套語言，科學研究就只會流於比較Qualitative或者Descriptive，很難可以下一個比較確切的結論。