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版權問題（二）

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例如，在科大的課堂上，我們需要準備一些閱讀材料給同學，這份材料是從一些書本上找出。如果這些材料是書本內的某一個篇章，只佔書籍的一小部份，我覺得直接複印給班上的同學，這個是合理的。可是如果我把整本書籍複印30份，分給班上的同學，這就是不合理。自己見過有一些教授，他們會直接使用出版社提供的ppt在課堂上使用，這個ppt上面的內容都會跟課本內一模一樣。當然在教學上，我會覺得這是非常沒有效率完全不應該使用的方法，但是在版權的問題這個討論上，我覺得我們不需要再向出版社拿到版權，直接使用是容許的。又例如（可惜是一個從來沒有出現過的例子），有一個外邊的機構邀請我教授一門課程，我因而得到額外的薪金。我覺得在這樣的情況，我就必須要重新編寫一些教材，不應該在網上下載一些例子在課堂上教授。 記得很多年前，自己就曾經碰過一個例子。香港電台文教組，希望我們編寫一些關於數學是什麼的文章。自己在編寫一個應用數學學什麼的文章時，剛開始時也沒有想那麼仔細，直接在網上找來一些參考圖片和資料。香港電台那個時候也提到關於版權問題，希望我們可以自己繪製或者提供一些不需要版權的材料給他們放在網站內。他們也提到如果真的找不到，他們自己也可以有人員幫忙繪製圖片。可以見到，一般在學校以外的公司組織對版權問題都是相對比較小心。 另外一個例子，就是在和UCLA一齊合辦的一個本科生暑期研習計劃的時候，我們需要和一些本地公司討論是否可以提供一些研究課題。UCLA那個時候就提出，我們是否需要和公司在法律上討論研究結果的版權問題。他們提到，在美國舉辦這些活動時，公司對研究成果的版權非常着緊，更會更UCLA簽合約，詳細討論版權誰屬的問題。我們在開始舉辦這個活動時，對這個問題一頭霧水。跟學校不同部門研究，最終結論，是我們根本對這個版權誰屬的問題完全不着緊。所以我們在跟本地公司開始討論時，都會直接跟他們說，你們公司可以隨便使用那些研究成果，我們並不在意。唯一要討論的，是我們希望公司都可以給予我們一些可以使用的數據庫，對大部份研究計劃，這些數據庫都不可避免。有一些公司可能由於內部保安要求，對這些數據都非常小心。所以我們也會跟參加研究計劃的同學說，這些數據你們完成這個計劃後都不可以自己保留。甚至乎以後使用這些研究成果在學術會議或者是學術期刊上發表，都必須得到那些參與的公司的同意。可是在最後幾年，都曾聽聞同學私自將研究成果發表在一些學術會...
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如何找文章去認識研究課題（二）

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  上面「一般來說」所講的，就是說有一些情況這些文章可能其實沒有太大關係。可能是，一些作者自己cite自己的文章，加大一下自己的impactfactor（當然自己也不可避免，盡力「刷」一下自己的數字）。有些時候，你可以看到作者運用差不多的技巧都很多不同的課題上，這樣同學也可以學習如何靈活運用不同的數學工具都看起來好像很不一樣的研究領域。可是這些self-citation就不一定可以幫助同學了解方法本身。另外，一些剛「入行」的同學可能沒有想像過的原因，是當文章在期刊做review的時候，有一些reviewer可能會要求作者加入一些參考文章。這些參考文章也不一定對文章主題有很大的關聯。作者為求滿足這些reviewer的要求，也可能在文章最終版本加入那些reference。 然後下一步，同學們就可以做一下recursion，就是看一下這些被cite的參考文章內Introduction所給的參考文章。一步一步往前走，這樣順藤摸瓜的，同學們就可以慢慢把整個研究方向的背景摸出來。 這個過程中間，你可能會找到一篇Survey或者ReviewPaper。這就比較方便，這些比較仔細的文章一般都會把整個研究領域做一個深入淺出的介紹，同學們就可以省下很多時間，在裏面可以找到更多的參考文章，仔細研究一下整個研究方向所希望解決的問題和現有的方法。 那可能會從裏面找出一本或者數本相關研究領域的書籍嗎？這個問題其實也經常碰到。有一些剛開始做研究的學生，都會問我可否給一些研究相關的書籍，讓他們可以花一點時間把背景資料弄清楚。可是其實對於這個問題的答案，一般都是不太可能。其中一個原因，是這些研究課題都可能是比較近期，比較熱門，並沒有太多人有心思去把整個研究領域編寫一本書。而且，所謂研究，跟一般大學課程很可能還是有一點距離，就算出版了這樣的一本書，讀者群將會非常少，根本沒有出版社會願意投資在這本書上面。除非書籍的內容已經到了普及程度，否則根本不可能會有一本書跟同學的研究領域百分百吻合。而可是，如果那個研究領域已經到達了「普及程度」，這樣的研究不是沒有得做（就是說，剩下來的問題都非常複雜）就是沒有問題做（就是說，已經在沒有任何有趣的問題可以解決）。
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版權問題（一）

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某天跟同事聊天，談到他自己在YouTube上面的頻道。他自己有一個教育的題材，希望學校的CEI（Center for Education Innovation）可以幫忙拍攝的事宜，包括一些剪接上的幫忙和拍攝時的支援。可是由於他這個最後剪接出來的片段並不是用在課堂上，而是希望放到自己的YouTube頻道，學校最終決定並不會支持這個視頻的拍攝。 學校指出，由於這個視頻都是由學校支援，版權上是屬於學校的。在得到學校授權以前，同事並不可以私自放到自己的頻道上面。同事亦指出，學校跟他說，我們在課堂上的一切視頻，教材，功課，考試，一切東西的版權仍是歸於學校。其實這些聽起來好像不太陌生。以前好像也看過一些新聞，補習天王因為「跳槽」到另外的補習社，由於仍然從用以往的教材，沒有重新編寫，後來被舊僱主控告侵權。 我覺得大部份情況，我們對這些關於版權的問題都不太小心。可能是由於在學術界，大部份時間，我們都好像被容許在不同地方下載不同資料，只要我們指出材料的出處，一般來說都不會有任何問題。譬如說，在學術演講裏面，當我們在介紹研究問題背景的時候，我們都會在網上找一些會畫得非常漂亮的圖片，所謂「a picture is worth a thousand words」，找到一張出色的圖片，我們就可以省下好幾分鐘的時間慢慢介紹我們所做的問題。只要指出這張圖片下載的地方，一般來說這樣的做法都非常見到。 這篇文章裏邊，我只會分享學術界一般的做法，這個是否合法，我在這裏不會討論。自己也不是這個方面的專家，如果讀者知道答案，可以跟我說。回想一下，好像也沒有任何地方教過我們如何小心版權這些問題。大部份情況，都是我們自己的「專業判斷」。 一般的做法，當我們使用這些不是自己做出來的材料時，都會把reference清楚顯示。這個目的是希望聽眾或者讀者明白這個並不是自己的創作或者工作，credit交還給原創者。比較重要的問題，是我們使用這些材料時，都不會先作者的同意。一般我們在寫文章，給其他人一些研究背景是，我們也不會，也不可能，先得到每一篇文章的作者首肯，才把他的研究文章放到自己的Introduction裏面。可能是由於這個寫文章的習慣，我們在編寫演講材料時，一般都不會停下來想一想，是否需要得到材料的作者同意。這個是否真的需要，我也不知道。 雖然這樣說，當自己在使用這些材料時，都會非常小心。都會盡量把材料的出處放...
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如何找文章去認識研究課題（一）

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  對於剛剛開始做研究的同學來說，其中一個比較頭痛的問題，是如何找到適合的背景資料，學習那個研究範疇的整體進展。在這篇文章裏面，會介紹幾個不同的方法幫助同學找出一些相關的文章，以增加同學自己對整個研究方向的基本認識。 如果研究問題，是從指導老師所提出的，一般來說，老師都會有一些資料給同學看一看。同學們可以首先看一下這些文章。如果整篇都看得懂，那就沒有太大問題。同學們大概已經可以開始着手自己真正的研究課題，根據老師指示的方向，把問題解決。比較大的問題，也比較常見和比較合理的，是同學完全不知道如何入手，看見文章的Abstract，已經耍手擰頭。其實這完全正常，如果同學們剛開始研究工作，很多時候對任何一個領域都不一定有充足的掌握，這個時候，同學們可以首先看一下這些文章結果部份，看一下他們其實在做什麼問題（真的，要了解一篇文章解決什麼課題，要看的一般都不是文章的Introduction和中間比較Technical的部份）。有了大約的感覺，就可以返回看一下文章的第一部份Introduction。 這個Introduction部份多數都會先從問題的背景入手，介紹一下為什麼作者希望解決這個問題，這個問題的重要性是什麼，其他人如何解決這個問題，這些方法的優點和缺點分別是什麼，然後也可能會講一下作者現在所提出的解決方法有什麼特別，跟其他方法如何比較，等等。當然，要真的完全了解作者在這一篇文章裏邊所提供的方法，就不可避免地需要花一點時間在文章中間比較Technical的部份了。但是作為「新手」，這些比較花時間的部份有可能跟同學實質研究的課題不一定有太大關係。如果花了太多時間在這部份，可能會把整個研究進度拖慢很多。我也不是說同學們完全不需要了解這些方法，知道其他人如何解決這個問題，對研究員也非常重要。其中一個原因，是我們根本不知道將來在處理其他問題的時候，這些方法不知道會否派上用場。如果可以將這些其他人的方法，用到另外一個問題上，也是一個可行的研究方向。另外一個原因，是我們也可以看一下這些方法會否有其他人看不到的優點或者缺點，這些也是一些研究的可行性。 這個文章的入門部份，一般都會cite一些參考文章給其他人做一個reference。一般來說，通常這些文章都可能是某些研究領域做得比較好的，比較重要的，比較有參考性的。同學們就可以從這些文章入手，了解一下整個研究領域的發展如何，應該...
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計算數學入門系列 - 疊代方法（四）

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對於疊代本身，其實亦有着一些很有趣的數學問題。其中一個是關於混沌（Chaos）的理論。有一些數學系統，本身的定義就會根據疊代的法則進行演變。可以假設x(n)代表着第n次疊代後的數值，而每一次進行疊代，我們只需要根據函數f來定義。數學上來說，我們定義x(n+1)=f(x(n))，然後希望看一下根據這個疊代所做出來的數列是否有一些特別的特性。其中一個我們可能想找的是不動點（Fixed Point），就是說想找一個數值x不受疊代過程所改變。跟上面找出函數f的根不同，我們希望找到的是另外一個函數g(x)=x-f(x)的根。 如果函數f(x)只是一個線性函數，討論本身相對簡單，也比較沒有趣味。而一個最簡單的非線性函數是定義\(f(x)=\mu x(1-x)\)，而函數內參數\(\mu\)一定要為一個正數。這個疊代過程也叫做單峰映射（Logistic Map）[ 3 ]。比如說，我們選擇參數\(\mu\)等於1，我們用x0=1/2開始進行疊代，x1=1/2*1/2=1/4，然後x2=1/4*3/4=3/16，再得到x3=3/16*13/16=39/256，等等。我們可以看到做出來數列的數值越來越接近零。仔細的看一下這個問題，我們會發現，如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=x(1-x)這條方程式。而這條方程式的唯一解就是x=0。 複雜一點的例子，我們可以將參數作出一點改變，比如說我們選擇參數\(\mu\)等於1.5，我們用x0=0.5開始進行疊代，我們會得到x1=1.5*0.5*0.5=0.375，然後x2=1.5*0.375*0.625=0.3515625，再得到x3=0.34194946891，等等。我們會發現疊代所做出來的數列似乎並不是趨向零。如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=1.5x(1-x)這條方程式。而這條方程式存在着兩個解，其中一個是x=0，而令一個是上面數列似乎會趨向的x=1/3。 同學如果挑選一個細於3的參數，然後使用不同的初始條件進行疊代可以發現所產生的數列將會趨向\( (\mu-1)/\mu \)這個數值。同學可以使用普通的計算機進行一些簡單的運算看看情況如何。可是，如果參數大於3，情況就有點特殊。我們可以發現，絕大部份初始條件都會產生一些不收斂的數列（除非你挑選初始條件x=0）。如果\(3<\mu<1+...
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網上考試（二）

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我對於兩個考試（Midterm和Final）進行的方式也有所改變。由於都是在網上進行，我提議使用Open Book的方式。就是說，同學可以使用所有筆記，無論是自己所做的，還是在網上搜尋到關於課程的資料，所有東西都可以使用。這個方式是我這麼多年教學第一次進行的。以往曾經也嘗試提議同學使用這個考試模式，可是一般同學都覺得，如果這樣子，考試題目一定更加困難，然後拒絕。這個當然，如果容許你找所有的參考資料來考試，我們所寫的考試題目都一定不會跟你所搜尋到的一樣。可是，我自己覺得這種考試模式的好處，就是同學們根本不需要背誦任何東西。只要你對課堂內容有所掌握，同學們根本不需要背誦任何方程式或者符號，也不需擔心由於記錯了一個符號而把整條題目做錯。 這個Zoom上面的Open Book考試，和一般的Open Book還是有點不一樣。我不單容許同學找尋不同的筆記，同學們甚至可以上網搜尋他們問題的答案。這個決定的時候，我還是有點思前想後，在想這個安排是否合適。到底同學在這個搜尋過程裏面，是否可以顯示自己對課程內容的掌握？所以第一次使用這個Open Book考試的模式，我還是有點緊張。 首先是，擔心自己設計考試問題時，做得太過簡單。同學有機會一下子就在網上找到一條一模一樣的例子，把答案抄下來。同學們如果有修讀過我的課，都會知道我會把以往所有的考試題目公開給同學。有一些甚至會變成今年的功課題目。所以每次考試，我都會需要重新設計一些考題，而不會重複使用以往的題目。所以這擔心，對我來說也不是一個什麼大難題。但是，在設計考試題目的時候，還是花了一點心思。在把問題寫下來以後，還是嘗試在網上搜尋一下，是否可以找到一模一樣的問題。 然後，又希望問題本身也不可以離開功課題目太遠，擔心他們一下子掌握不到題目所要求的，馬上覺得，這份考題太過艱深，完全不知道在問什麼。有一些本地同學，可能由於中學時所面對的考試模式，大多只需他們對某些特定題型的掌握，所以當同學見到一些新的問題時，可能會覺得無從入手，不知道如何開始。甚至答案有機會只需要兩行的運算，他們都不知如何回答。在設計考試題目是，我還是需要小心一點。如果題目太過天馬行空，無論答案是如何簡單，我也有點擔心自己變成killer。 還好最後出來的成績，還是比較可以的。總分20分，平均也有12分左右。自己覺得也比較滿意。有一些同學當然做得非常好，大部份題目都沒有什麼問...
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計算數學入門系列 - 疊代方法（三）

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對於找出函數f的根的問題，其中一個比較常用的方法就是牛頓法（Newton’s Method ）[ 2 ]，x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f’(x(n))。如果初始數值相對比較接近確切解時，我們可以證明牛頓法收斂單根（Simple Root）的速度為2。雖然速度非常快，但是使用這個方法是我們有兩點需要注意。第一個使用牛頓法的困難，是我們需要使用一個在確切解附近的初始數值。一般來說，我們會根據實質應用，對答案有一個想法。可能是先對實質情況的一個非常初步的簡化，用這個簡化了問題的答案作為牛頓法的初始值。可是這個初始值是否夠接近這個確切解，我們就一般都不太確定了。一般的做法，就是對牛頓法有信心，「相信牛頓」就可以了（!）。更重要的問題，是方法需要用到函數的導數（Derivative）。比起二分法，這裏對函數的要求比較多，我們不單單只希望函數是連續函數，我們更希望函數有一定的正則性（Regularity）。在一般情況，我們可以清楚知道函數的導數是否存在，在功課內更加毋庸置疑。同學如果可以直接把函數寫出來，很容易的就可以知道函數是否一個可微函數（Differentiable Function）。將日常生活的應用，我們有些時候甚至乎不一定知道函數是否一個連續函數，要研究他是否一個可微函數就更加困難。就算我們知道他是一個可微函數，計算起來還是可能很複雜以致有些時候我們可能不太想把他的導數計算出來。所以，有些時候我們就只會使用導數的近似值，這就得到了割線法（Secant Method）。 假設我們現在想解決的問題，並不是一個普通函數f(x)=0的問題，而是一個線性代數問題。就是說f(x)=Ax-b，這裏的x和b就不是一個純量（Scalar）而是一個向量（Vector），而A就是一個矩陣。這個問題就沒有辦法使用二分法去計算因為答案x是在一個高維空間。如果我們使用上面的牛頓法，函數的導數就會變成他的雅可比矩陣(Jacobian)，就是矩陣A本身。而牛頓法，就可以寫成 \[ x(n+1)=x(n)-J^{-1}*f(x(n))=x(n)-A^{-1}(Ax(n)-b)=A^{-1}b。\] 這代表什麼呢，這代表牛頓法找出來的就是線性代數方程的確實解。而中間的過程，我們就必須要計算矩陣A的逆矩陣（Inverse Matrix）。在上面文章提到，如果矩陣A非常大，這個方法就不切實際了...
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網上考試（一）

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終於又完成了一年的教學工作。比較特別的是，在這個學期終於第一次安排了網上的期終考試。回想一下，這個課程，是自己兩年裏面第一次需要進行期終考試的科目。在安排上，自己也需要多花一點心思。以往一般科目，我們都會參考同學的功課，Midterm和期終考試，去決定同學的成績。在最近幾個學期，大部份所任教的科目，卻反而是一些Project Course。例如上個學期所負責的Capstone Project，一共大約60位本科生同學各自分組負責一些不同的數學研習項目，在學期裏面，需要交一份大約10頁紙的報告和做一個大約20分鐘的演說。另外一些學期，有一門研究生課程，同學們在學期內只需要做三個的數學項目，不需要再考試。這些課程，我會根據Project的質量去決定同學的成績。所以在這兩年裏面，都不需要擔心因應Zoom教學而需要改變太多的考試安排。 由於我們沒有辦法安排場地，令同學可以面對面的進行考試，不同科目都因應着自己的需求，運用不同的方法去了解同學們對課程內容的認識去給予同學的分數。其實學校已經給了我們一些建議，比如說可以的話也把考試的模式改為不同的研習項目。令到同學有多一點時間去表達自己對課程的掌握，也可以減輕我們對網上考試的依賴。但是這些安排，也不是對所有本科生課程都適用。例如大學課程內第一年的微積分，我們沒有辦法要求同學去寫一些關於微積分的文章，介紹自己對微積分的認識。這些課程，我們都還是需要倚賴一些考試，去測試同學對內容的掌握。 這些考試比較特別的，不單是考驗同學對課程內容的了解，也考驗同學自己本身的誠信。如果真的還是需要進行以往的考試模式，有些同事會要求同學將鏡頭對着自己和電腦螢幕，令我們知道他們沒有作弊，是否在跟朋友在網上討論。有一些甚至要求同學有兩個視像鏡頭，一個對着自己正前方，令我們知道誰在考試，另外一個鏡頭向着同學考試的環境，令我們知道附近並沒有其他人。然後也可能有一些規例，禁止同學佩戴耳筒，令我們知道他們沒有聆聽着其他朋友的講解。當然亦有一些規例，禁止同學使用網上留言板，將考試題目上載，跟網上不同人討論。聽來的消息，當然道高一尺魔高一丈，同學們作弊的技術也有機會層出不窮。我們老師亦都要因應情況，不斷將我們考試模式和方法改變，去防止同學們作弊的情況出現。 我知道有一些同事，他們會將考試改為Take-Home Exam。就是說，同學可以在家有數天的時間慢慢做那些試題...
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