計算數學入門系列 - 疊代方法（四）

對於疊代本身，其實亦有着一些很有趣的數學問題。其中一個是關於混沌（Chaos）的理論。有一些數學系統，本身的定義就會根據疊代的法則進行演變。可以假設x(n)代表着第n次疊代後的數值，而每一次進行疊代，我們只需要根據函數f來定義。數學上來說，我們定義x(n+1)=f(x(n))，然後希望看一下根據這個疊代所做出來的數列是否有一些特別的特性。其中一個我們可能想找的是不動點（Fixed Point），就是說想找一個數值x不受疊代過程所改變。跟上面找出函數f的根不同，我們希望找到的是另外一個函數g(x)=x-f(x)的根。

如果函數f(x)只是一個線性函數，討論本身相對簡單，也比較沒有趣味。而一個最簡單的非線性函數是定義\(f(x)=\mu x(1-x)\)，而函數內參數\(\mu\)一定要為一個正數。這個疊代過程也叫做單峰映射（Logistic Map）[3]。比如說，我們選擇參數\(\mu\)等於1，我們用x0=1/2開始進行疊代，x1=1/2*1/2=1/4，然後x2=1/4*3/4=3/16，再得到x3=3/16*13/16=39/256，等等。我們可以看到做出來數列的數值越來越接近零。仔細的看一下這個問題，我們會發現，如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=x(1-x)這條方程式。而這條方程式的唯一解就是x=0。

複雜一點的例子，我們可以將參數作出一點改變，比如說我們選擇參數\(\mu\)等於1.5，我們用x0=0.5開始進行疊代，我們會得到x1=1.5*0.5*0.5=0.375，然後x2=1.5*0.375*0.625=0.3515625，再得到x3=0.34194946891，等等。我們會發現疊代所做出來的數列似乎並不是趨向零。如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=1.5x(1-x)這條方程式。而這條方程式存在着兩個解，其中一個是x=0，而令一個是上面數列似乎會趨向的x=1/3。

同學如果挑選一個細於3的參數，然後使用不同的初始條件進行疊代可以發現所產生的數列將會趨向\( (\mu-1)/\mu \)這個數值。同學可以使用普通的計算機進行一些簡單的運算看看情況如何。可是，如果參數大於3，情況就有點特殊。我們可以發現，絕大部份初始條件都會產生一些不收斂的數列（除非你挑選初始條件x=0）。如果\(3<\mu<1+\sqrt6\)，

我們可以看見數列似乎將會在兩個不同的數值上反覆出現。仔細計算，我們可以知道所產生的數列將會越來越接近\( \left[\mu+1\pm\sqrt{\left(\mu-3\right)\left(\mu+1\right)}\right]/2\)這兩個數值，而且其中一個在下一次疊代將會得到另外一個。

當我們將參數繼續增大到達3.45和大約3.54之間，漸漸會發現，所產生的數列將不只在兩個數值上反覆出現，而是經過四次疊代才會回到原先的數值。這個有一個不動點，到兩個數值之間的反覆變化，在二變成四個數值的持續震動演變，在數學上叫做周期倍分（Period Doubling）。可以想像，當參數\(\mu\)繼續增大，疊代變化將會越來越複雜，直到一個數值之後我們就會發現數年看起來根本沒有重複變化。這個情況就顯示了如何從有秩序的運動演變成混沌的疊代變化。一個很清楚表示這個變化的方法是叫做分枝圖（Bifurcation Diagram），同學可以在網上找來看一下。