做數學研究大概是什麼一回事

 

數學研究跟其他學科研究一樣，目的都是希望創造新的知識。我們希望可以發掘一些以往研究人員並未完全清楚了解的事情，然後嘗試去解答這些問題。我自己所做的是應用數學方面的研究，所以容許我只針對着這個範疇繼續多解釋一下。我們所做的研究可能會有幾個方向，可能是運用數學的技巧，去解釋日常生活裏面所遇到的不同事情，或者去設計方法解決現實生活裏面所遇到的問題。

第一個研究方向是我們經常所提到的數學模型。我們希望運用數學的方法，提出一個對日常生活遇見事情的解釋。在課堂裏面我會提到一個鐘擺模型，我們很常在日常生活見到東西左搖右擺，譬如舊式吊鐘，風吹着樹枝，甚至乎是很久以前一個拍攝影像，看見風吹過一座大橋，他擺動越來越大，最後倒塌。這些都是我們日常生活會見到的事情。我們希望運用數學的方法解釋這個現象為什麼會出現，然後通過這個數學模型，希望得到一個預測，知道在不同條件下，這個系統會有什麼不一樣的反應。例如上面大橋倒塌的例子，如果我們可以知道為什麼擺動幅度越來越大，我們就有機會看一看是否可以通過改變這個數學模型裏面的一些參數，去防止意外的發生。自己有做過好一些不同的例子，包括了高頻波的傳播模型，量子力學的非局部現象，晶體生長模型，圖像處理等等。這些聽起來都不像是數學科的研究，可是在應用數學範疇，這些都是非常重要的研究題目。

另外一個方面，我們也希望能夠設計一些新的方法去解決上面不同數學模型需要解決的數學問題。由於數學模型所運用的技巧有所不同，我們有時可能需要解決不同的數學問題。他們可能包括大型線性代數問題，優化問題，也可能是需要解決一些微分方程或者偏微分方程。當這些問題越來越複雜，我們可能沒有方法得到一個確切解。所以我們有些時候也需要設計一些新的計算技巧去幫我們用最少的時間去得到一個更準確的近似值。在電腦出現以前，學者可能需要根據數學問題的特性，設計不同找出近似值的方法，可能是將非線性問題簡單化，甚至乎先從一些特別情況考慮，將某些變數用近似值的方法推向零或者無限大，看看這個複雜的數學模型可能得出什麼的結論。近代的計算數學，就可能直接看一下非線性模型，着重研究數值方法的準確性，收斂性，或者是研究一下計算的複雜性。如果對純數學有多一點背景，研究人員也可能運用一些分析技巧，看一下從電腦計算出來的答案有什麼特性，例如他的光滑程度如何，存在於那一個函數空間等等。

也有學者將這兩個不同的方向都一起解決。他們可能自己設計一個新的數學模型去模擬生活上所看見的難題，然後再設計方法去解決這個數學問題。

所以數學研究，其實非常精彩。有興趣的同學其實可以在本科生時期早一點接觸，看一下自己是否適合這個「行業」。