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20200718 想法源起 20200719 我們在做什麼（一） 20200722 我們在做什麼（二） 20200725 竟然成為數學家（一） 20200729 竟然成為數學家（二） 20200801 竟然成為數學家（三） 20200805 不同職級（一） 20200808 不同職級（二） 20200812 趕客系列（一）為什麼讀大學？ 20200815 趕客系列（二）不同大學學位跟工作的關係 20200819 趕客系列（三）大學的目的 20200822 趕客系列（四）大學為什麼要有主修 20200826 趕客系列（五）要挑選一個什麼樣的主修 20200829 沒有無緣無故的恨（一） 20200831 科普系列 - 數學與電影動畫製作（一） 20200902 沒有無緣無故的恨（二） 20200905 沒有無緣無故的恨（三） 20200907 科普系列 - 數學與電影動畫製作（二） 20200909 終身職位的評核 20200912 學術界吸引人的地方 20200914 科普系列 - 數學與電影動畫製作 （三） 20200916 學術界辛苦的地方（一） 20200919 學術界辛苦的地方（二） 20200921 科普系列 - 數學與電影動畫製作 （四） 20200923 大學的讀書成績有多重要 20200926 本科生研究機會 20200928 科普系列 - 數學與圖像修復（一） 20200930 用創新的方法去教育科學 20201003 參加研討會的重要 20201005 科普系列 - 數學與圖像修復（二） 20201007 教授與教學 20201010 研究是什麼（一） 20201012 科普系列 - 數學與圖像修復（三） 20201014 研究是什麼（二） 20201017 研究是什麼（三） 20201019 科普系列 - 數學與圖像修復（四） 20201021 如何閱讀研究論文 20201024 研究生應該修什麼課 20201026 科普系列 - 數學與圖像修復（五） 20201029 本科生的多主修多副修 20201102 科普系列 - 數學與數獨（一） 20201105 幾位教授（一） 20201109 科普系列 - 數學與數獨（二） 20201112 幾位教授（二） 20201116 科普系列 - 數學與數獨（三） 20201119 幾位教授（三） 20...
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如何學習數學（五）

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第三個學習的過程，就是我們要看看是否和如何能把課程不同的部份連結起來。很多時候知識是一層一層蓋上去的，課程後期的課題，有時是需要前面的方法作為基礎。能夠把不同的部份放在同一個課程裏面，然後出現着這樣的次序，就代表着前面所教的，可能是比較基礎，而後面的可能是前面的某些應用。如果同學們可以看見這些連結，就會更加掌握整套知識。 以數值方法這個課程為例，我們很早就會介紹插值（Interpolation）的方法。對某些同學來說，這個題目在課程內顯得有點格格不入，最主要原因interpolation給出的是一個函數，並不是數值。所以出現在數值方法這個範疇可能會顯得有一點奇怪。但其實他是整個課程裏面其中一個最重要的題目。其中一個原因，是需要運用他來連繫兩個關於「答案」的概念。用數值方法解決微分方程問題，我們得到的其實只是一堆數值，而不是一個函數。大部份數學系的同學都會學習到微分方程的不同解決方法，所有的答案都是一個函數。當我們見到數值方法會找出一些跟同學們所認知的「答案」不一樣的結果，我們就需要用插值將這些點連繫到同學們比較熟悉的答案上面。又例如，我們如何教導電腦計算函數的導數呢？其實也是使用插值的方法。我們會將函數抽樣，運用插值得到函數的一個近似形式，再去計算他的導數。如何教導電腦計算函數的定積分呢？方法也是差不多，我們也會將函數抽樣，運用插值的方法去找到函數的一個近似形式，再去計算這個近似形式的定積分。所以無論函數是如何複雜，我們都不再需要使用不同的方法去找出函數的反導函數（antiderivative），因為所有近似形式都是一個我們熟悉的函數，找他的定積分就相對比較簡單。 為什麼求根（Root-Finding）會放在前面呢？因為後邊我們解決微分方程兩點邊值問題（Two-Point Boundary Value Problem）時，有一個方法叫做打靶法（Shooting  Method），我們會運將兩點邊值問題重新寫成一個Root-Finding Problem，然後使用一些像牛頓法（Newton’s Method）的技巧快速地把答案找出來。然後，我們也可以使用Finite Difference的方法去解決同樣的問題。我們把函數的區域離散化，然後把方程式用Finite Difference的方法寫成方程組，這樣就可以把兩點邊值問題變化成一個高維的求根問題。 這些例子都...
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如何學習數學（四）

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當我們大約知道了為什麼我要學習這個數學知識，下一個問題就是「他到底是什麼」。這部份應該是同學們花最多時間的地方。在大部份課程裏面除了第一和最後一節課以外，我們應該用大部份時間在解釋和討論這個數學知識本身。以微積分課程為例，我們會花大部份時間介紹微分和積分，和他們裏面不同的方法和技巧。當然這些都非常重要，但在學習的過程更重要的是返回前面的一個問題，為什麼我們需要學這些方法？沒有了這些技巧，在計算時會遇到什麼困難？要知道大部份計算，儘管答案應該是唯一，找到這個答案的方法本身不一定是唯一。就是說，可能會有不同的方法都令到我們得到同一個答案。有些方法可能比較複雜，計算也需要花大量時間。而在學習過程，我們可能會碰到另外一套方法去解決同一個問題。裏面可能會有一個方法運用起來需要一點時間去掌握，但是找到答案的時間就會大大縮短。當我們一邊將不同方法作比較，我們其實就同一時間練習如何使用不同的數學技巧去解決問題。所以在學習的過程，我們不單止要掌握那個方法本身，更要了解在什麼時候我們可以使用這套知識。 舉個例子，在微分部份，我們會介紹乘法與除法公式（Product and Quotient Rules）。然後，經常會見到同學花很多時間去背誦尤其是除法公式，但是都考試時候又會把公式記錯，最後也找不到答案。如果同學們有花時間看一看這個公式本身，就會發現我們只需要把乘法公式弄清楚，自然可以從他得到除法公式（方法是把f/g寫成f*(1/g)，然後使用乘法公式，再將答案化簡，我們就可以得出除法公式）。當同學們通過比較和花時間消化，我們就根本不需要浪費RAM去記着那個相對比較複雜的除法公式。我經常跟同學們說數學家就是最懶惰記憶力又差。原因就是我們都不願意記太多東西。我們知道隨着時間過去很多事情我們是沒有辦法記起來。所以如果我們將過程消化，將答案理解，我們其實就已經把知識吸收。當知識成為了我們一部份，我們其實就不用再浪費氣力把這些知識牢牢記在腦海裏。 另外一個題目是隱函數微分法（Implicit Differentiation），我們為什麼要學呢？就是由於他可以提供一個捷徑幫助我們計算某個函數的導數。假如我們知道x跟y有着一個f(x,y)=0的關係，我們當然可以把f(x,y)=0嘗試寫成y=g(x)，再計算dy/dx可是很多時候要找出函數g不一定簡單，就算可以把這個函數找出來，計算他的導數也有機會很...
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如何學習數學（三）

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  學習一門新的數學知識，最重要的還是要解答一個最根本的問題，就是我為什麼要學習這個知識。答案絕對不是因為畢業要求，所有的畢業要求都有一個根本的原因。出現在大學必修課的內容，就一定是因為你之後的某一個科目需要這個知識。你如果沒有掌握這個知識，以後就很難在這個基礎知識上面繼續發展豐富自己的智慧。這問題要求的答案，當然也不只是因為以後另外的課程需要用到他。這答案其實就跟沒有問過這個問題沒有分別。仍然是其他人要求你學，你就去學。我所指出的，是我們應該要對這個學習課題有好奇心，要清楚理解這個題目是什麼一回事，他希望解決的是什麼問題？出現的背景是什麼？沒有了他會如何？當得到這些問題的答案， 我們就有些提示，知道將來在什麼情況下有機會使用這些工具。當然，這些問題的答案都可能不太簡單。一般來說，大學課程的第一節課都會給一個總論，盡量給同學解答上面的這些問題。自己覺得第一節課是整個學期裏面最重要的一節課，所以都比較花時間準備。如果同學們錯失了這一節課，就非常可惜。 例如在大學第一年的微積分，我可能（這麼多年，其實我都沒有教過MATH1003或者MATH1012或者MATH1013。最相似的，可能也要數10多年前在HKDSE出現以前的MATH021，也就是後來的MATH1018。這門科目把現在一整年的微積分課程濃縮用一個學期完成，對現在的同學來說，根本不可能了）會提到微積分是了解函數的最重要工具，而函數就是運用數學描述科學的最精準工具。所以如果同學們沒有辦法掌握微積分，就很難用一套標準的語言描述世界。以物理為例，我們運用函數描述物體的軌跡，運用微分我們就可以精準定義跟描述物件運動的速度。又例如，我們可以運用函數描述物質在不同地方的密度，運用積分我們就可以精準定義物體的重量。當然我們還可以有一個高層一點的解釋，嘗試指出微分是一個從宏觀到微觀的方式，而積分就是一個相反的過程，blar blar blar。但自己猜想在第一節課講這個那麼抽象的說法，只會嚇怕同學。可能講一下物理，講一下化學，講一下工程等等的應用，就應該足夠讓同學們明白到微積分的重要和他到底如何影響着同學們在大學以後的主修課程。 又例如，在數值分析的第一節課，我會首先介紹一些我們沒法用手計算的數學問題，再介紹一些我們不想一步一步用手慢慢做的繁複計算，然後就可以引入整個課題的主旨，指出我們需要教導電腦如何嘗試把答案找出來...
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如何學習數學（二）

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  自己很少負責同學們第一年的微積分課程，很多時候教的都已經是同學們第三或者第四年的選修課。跟同學們聊天或者從其他老師口中，常常都會聽到同學說「那些東西已經是幾年前所學的，大部份已經不記得了」。我們都會聽得一頭霧水，為什麼會忘記的呢？如果已經經過消化和吸收成為了認知的一部份，如何可以忘記掉呢？唯一的解釋，就是同學們根本沒有學過，不是說老師從來沒有在課堂上講解過那個知識，而是同學們只忙着把課堂例子和功課答案，匆匆的複印到自己的腦海中，用以加大自己的「題庫」。他們都仍然運用着中學時候的學習模式，只着重背誦，而不去嘗試掌握所教導的知識。當時間流逝，這些在短時間內放到RAM的數據就會慢慢消失不見。而殘留在Hard Disk的知識，並不足運用到在大學第三或者第四年的選修課上面。 從這些經驗，自己就會覺得同學們完全沒有掌握學習的技巧和能力，只着重背誦，以為自己記得越多，越代表對這些知識越掌握。其實同學們在中學時記得越多，考試成績可能會越好，但這其實並不代表同學們掌握那些知識。同學們在大學時記得越多，成績反而應該會越差。因為我們在設計考試時並不會顧及同學花了多少時間背誦課文，我們所設計出來的考試題目都希望了解同學們對知識有多掌握。所以你愈花心神充實自己的題庫，就越是浪費時間，結果無力去消化內容。對着一份你從來沒見過的考試卷，在記憶體裏面不斷搜尋仍然找不到相似的題目，然後不知如何回應問題，那成績自然差。 這裏並不是要怪責同學，其實一路以來我都只怪責考試模式並不鼓勵同學們練習自己分析、了解和吸收的技巧，沒有讓同學們有學習的能力。同學們根本不懂如何學習，甚至乎根本沒有人教過他們應該如何學習。從小的教育模式（起碼自己從小在香港所碰到的），大部份都是老師在課堂將書本上的知識用精讀的方法在黑板上講一次，我們聽一次，看一次老師在講解的練習題，自己看看書本上的另一條非常相似的題目，嘗試模仿一次解題方式。做得到答案的，就會被認定為對知識已經掌握了。做不到答案的，老師在黑板上將那一條題目做一次，同學們抄一次，回家把方式記到腦海內，這就被理解為學過那一個概念了。 所以我們應該如何學習呢？下面所提到的是自己的方法，有可能並不適合所有同學。但作為參考應該還是有一丁點用途。同學們可以嘗試一下，如果對方法掌握，自己覺得長遠同學們還是有一點幫助。始終學海無涯，人生就是需要不斷學習。如果不早一點掌握到一個...
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