如何學習數學（五）

第三個學習的過程，就是我們要看看是否和如何能把課程不同的部份連結起來。很多時候知識是一層一層蓋上去的，課程後期的課題，有時是需要前面的方法作為基礎。能夠把不同的部份放在同一個課程裏面，然後出現着這樣的次序，就代表着前面所教的，可能是比較基礎，而後面的可能是前面的某些應用。如果同學們可以看見這些連結，就會更加掌握整套知識。

以數值方法這個課程為例，我們很早就會介紹插值（Interpolation）的方法。對某些同學來說，這個題目在課程內顯得有點格格不入，最主要原因interpolation給出的是一個函數，並不是數值。所以出現在數值方法這個範疇可能會顯得有一點奇怪。但其實他是整個課程裏面其中一個最重要的題目。其中一個原因，是需要運用他來連繫兩個關於「答案」的概念。用數值方法解決微分方程問題，我們得到的其實只是一堆數值，而不是一個函數。大部份數學系的同學都會學習到微分方程的不同解決方法，所有的答案都是一個函數。當我們見到數值方法會找出一些跟同學們所認知的「答案」不一樣的結果，我們就需要用插值將這些點連繫到同學們比較熟悉的答案上面。又例如，我們如何教導電腦計算函數的導數呢？其實也是使用插值的方法。我們會將函數抽樣，運用插值得到函數的一個近似形式，再去計算他的導數。如何教導電腦計算函數的定積分呢？方法也是差不多，我們也會將函數抽樣，運用插值的方法去找到函數的一個近似形式，再去計算這個近似形式的定積分。所以無論函數是如何複雜，我們都不再需要使用不同的方法去找出函數的反導函數（antiderivative），因為所有近似形式都是一個我們熟悉的函數，找他的定積分就相對比較簡單。

為什麼求根（Root-Finding）會放在前面呢？因為後邊我們解決微分方程兩點邊值問題（Two-Point Boundary Value Problem）時，有一個方法叫做打靶法（Shooting  Method），我們會運將兩點邊值問題重新寫成一個Root-Finding Problem，然後使用一些像牛頓法（Newton’s Method）的技巧快速地把答案找出來。然後，我們也可以使用Finite Difference的方法去解決同樣的問題。我們把函數的區域離散化，然後把方程式用Finite Difference的方法寫成方程組，這樣就可以把兩點邊值問題變化成一個高維的求根問題。

這些例子都會在不同課程裏面經常出現，同學們可以細心回想一下，題目跟題目有什麼關係，看看不同課程題目是如何安排，他們是如何連繫在一起。只要把這些關係搞清楚，我們對整個課程都會有一些更深刻的掌握。

總的來說，要學習數學，並不是要硬記所有公式和證明。運用這套方法，你只會需要不斷的加大自己的「腦容量」。所接觸的數學知識越來越多，你需要背誦的也跟着越來越複雜。到最後只會把所有的好奇心除掉，然後越來越對數學疲倦，甚至討厭了數學。自己覺得正確的學習方法，是要理解消化和掌握。把知識吸收，成為自己手握着的其中一項工具。將來遇到其他問題時，想想有沒有方法運用手上不同的工具去解決那個難題。 看到這裏的同學可能會覺得這篇文章比較「離地」，一點也不實用。所以下一篇文章，我會講一下對於數學科，我們應該如何溫書考試去拿取好成績。