如何學習數學（四）

當我們大約知道了為什麼我要學習這個數學知識，下一個問題就是「他到底是什麼」。這部份應該是同學們花最多時間的地方。在大部份課程裏面除了第一和最後一節課以外，我們應該用大部份時間在解釋和討論這個數學知識本身。以微積分課程為例，我們會花大部份時間介紹微分和積分，和他們裏面不同的方法和技巧。當然這些都非常重要，但在學習的過程更重要的是返回前面的一個問題，為什麼我們需要學這些方法？沒有了這些技巧，在計算時會遇到什麼困難？要知道大部份計算，儘管答案應該是唯一，找到這個答案的方法本身不一定是唯一。就是說，可能會有不同的方法都令到我們得到同一個答案。有些方法可能比較複雜，計算也需要花大量時間。而在學習過程，我們可能會碰到另外一套方法去解決同一個問題。裏面可能會有一個方法運用起來需要一點時間去掌握，但是找到答案的時間就會大大縮短。當我們一邊將不同方法作比較，我們其實就同一時間練習如何使用不同的數學技巧去解決問題。所以在學習的過程，我們不單止要掌握那個方法本身，更要了解在什麼時候我們可以使用這套知識。

舉個例子，在微分部份，我們會介紹乘法與除法公式（Product and Quotient Rules）。然後，經常會見到同學花很多時間去背誦尤其是除法公式，但是都考試時候又會把公式記錯，最後也找不到答案。如果同學們有花時間看一看這個公式本身，就會發現我們只需要把乘法公式弄清楚，自然可以從他得到除法公式（方法是把f/g寫成f*(1/g)，然後使用乘法公式，再將答案化簡，我們就可以得出除法公式）。當同學們通過比較和花時間消化，我們就根本不需要浪費RAM去記着那個相對比較複雜的除法公式。我經常跟同學們說數學家就是最懶惰記憶力又差。原因就是我們都不願意記太多東西。我們知道隨着時間過去很多事情我們是沒有辦法記起來。所以如果我們將過程消化，將答案理解，我們其實就已經把知識吸收。當知識成為了我們一部份，我們其實就不用再浪費氣力把這些知識牢牢記在腦海裏。

另外一個題目是隱函數微分法（Implicit Differentiation），我們為什麼要學呢？就是由於他可以提供一個捷徑幫助我們計算某個函數的導數。假如我們知道x跟y有着一個f(x,y)=0的關係，我們當然可以把f(x,y)=0嘗試寫成y=g(x)，再計算dy/dx可是很多時候要找出函數g不一定簡單，就算可以把這個函數找出來，計算他的導數也有機會很繁複。所以這個隱函數微分法就提供了一個捷徑給我們找出函數的導數。如果我們運用這個技巧到上面提到的除法公式，那會發生什麼事情呢？假設h=f/g，要計算h的導數，其實我們又可以將它寫成h*g=f，再運用隱函數微分法，我們就得到h’=(f’-hg’)/g，也就是我們所知道的除法公式。從這個例子我們又可以見到，同一個答案可以使用不同的公式和方法。只要同學們靈活運用這些方法，令到他們互相補足，就不會因為忘記了一個特定的技巧，而不知道如何解決一些數學問題。