如何學習數學（三）

 

學習一門新的數學知識，最重要的還是要解答一個最根本的問題，就是我為什麼要學習這個知識。答案絕對不是因為畢業要求，所有的畢業要求都有一個根本的原因。出現在大學必修課的內容，就一定是因為你之後的某一個科目需要這個知識。你如果沒有掌握這個知識，以後就很難在這個基礎知識上面繼續發展豐富自己的智慧。這問題要求的答案，當然也不只是因為以後另外的課程需要用到他。這答案其實就跟沒有問過這個問題沒有分別。仍然是其他人要求你學，你就去學。我所指出的，是我們應該要對這個學習課題有好奇心，要清楚理解這個題目是什麼一回事，他希望解決的是什麼問題？出現的背景是什麼？沒有了他會如何？當得到這些問題的答案， 我們就有些提示，知道將來在什麼情況下有機會使用這些工具。當然，這些問題的答案都可能不太簡單。一般來說，大學課程的第一節課都會給一個總論，盡量給同學解答上面的這些問題。自己覺得第一節課是整個學期裏面最重要的一節課，所以都比較花時間準備。如果同學們錯失了這一節課，就非常可惜。

例如在大學第一年的微積分，我可能（這麼多年，其實我都沒有教過MATH1003或者MATH1012或者MATH1013。最相似的，可能也要數10多年前在HKDSE出現以前的MATH021，也就是後來的MATH1018。這門科目把現在一整年的微積分課程濃縮用一個學期完成，對現在的同學來說，根本不可能了）會提到微積分是了解函數的最重要工具，而函數就是運用數學描述科學的最精準工具。所以如果同學們沒有辦法掌握微積分，就很難用一套標準的語言描述世界。以物理為例，我們運用函數描述物體的軌跡，運用微分我們就可以精準定義跟描述物件運動的速度。又例如，我們可以運用函數描述物質在不同地方的密度，運用積分我們就可以精準定義物體的重量。當然我們還可以有一個高層一點的解釋，嘗試指出微分是一個從宏觀到微觀的方式，而積分就是一個相反的過程，blar blar blar。但自己猜想在第一節課講這個那麼抽象的說法，只會嚇怕同學。可能講一下物理，講一下化學，講一下工程等等的應用，就應該足夠讓同學們明白到微積分的重要和他到底如何影響着同學們在大學以後的主修課程。

又例如，在數值分析的第一節課，我會首先介紹一些我們沒法用手計算的數學問題，再介紹一些我們不想一步一步用手慢慢做的繁複計算，然後就可以引入整個課題的主旨，指出我們需要教導電腦如何嘗試把答案找出來。然後我會再定義「答案」。由於運用電腦解決數學問題，我們很多時候沒有辦法把確切的數值解找出，所以在數值方法上面，「答案」的理解跟同學們的認知會有所不同。這些背景同學都必須要搞清楚，要不是在不同章節裏面所介紹的數值方法，同學們就沒有辦法掌握到底是什麼一回事。當我們知道原來這門課程是幫助我們解決一些人類沒法用手去解決的數學問題，我就知道，在將來當我遇到一些非常困難的數學問題，我就多了一套工具在手，可以嘗試運用電腦將答案找出來。