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科普系列 - 數學與電影動畫製作 （三）







由於計算數學對電腦特技或者電腦動畫的幫助，數學家也會得到不同的鼓勵。大家每年可能都會看奧斯卡頒獎典禮。但是奧斯卡除了一些最佳演員最佳導演最佳劇本等等的獎項以外，還有一些是關於技術的獎項。其中有一個叫做科學及技術獎，每年都會頒發給一些對電影拍攝有幫助的公司及人。在2007年就頒發了一些發展流體計算的公司[1]。其中一間叫做Digital Domain，大家可能不認識，可是他發展了一套軟件去繪製「明日之後」（The Day After Tomorrow）[2]裏面由於兩極冰川融化海水大量湧入紐約市中心的情況。如果你現在在看一下這一套電影，你依然會發現海水運動過程非常真實，背後就是靠去找納維-斯托克斯方程的一個近似值。在同一年，亦都有三名數學家拿到這個科學及技術獎，他們亦是幫忙了設計軟件計算流體運動的變化。其中一名是在史丹福大學的Prof. Ron Fedkiw[3]，雖然他現在是計算機科學的教授，可是他博士學位是數學系的。Prof. Fedkiw自己的研究是去幫忙解決水平值計算準成度及增加其計算效能。由於他在這計算方面的貢獻，除了在2007年，他在2014年亦都憑着其他在多態流（Multiphase Flows）和煙霧計算的方法，再次拿到這個科學及技術獎。數學家拿奧斯卡好像很特別，所以我經常會開玩笑地說，數學科目沒有諾貝爾獎，因此就會不斷拿不同地方的其他獎項。 

介面計算亦有很多不同在動畫上面的應用。然後比較近期，被迪士尼收購了的Pixar，有一齣叫做「雷霆戰狗」（Bolt）的動畫，也運用了介面計算的研究[4]。動畫裏面有一隻被困在玻璃球的倉鼠。在動畫差不多結尾時，玻璃球由於碰撞而破裂，倉鼠就從玻璃球裏面逃脫出來。而這一兩秒「鏡頭」前面的動畫，亦是用了電腦計算去幫忙「繪畫」裂痕在玻璃球上面破裂的軌跡。而且一兩秒的過程，不留意亦不可能發現。所以從這些細微的地方，你就可以看到動畫公司繪製這些動畫是多麼的用心。

 

最後一個數學如何用在動畫製作上的例子，就是比較近期，迪士尼大收的動畫「魔雪奇緣」（Frozen）[5]。裏面中了魔法的公主會不斷長出冰雪。電影裏面經常會出現的場景，就是一點一點的雪花會生長成巨大的冰雪。而這些冰雪晶體生長（Crystal Growth）的模式，也可以通過電腦計算而得到出來。這齣動畫在繪畫的時候，亦都找來加州理工的「Dr. Snowflakes」提供科學協助，幫忙設計晶體生長的鏡頭[6]。除了晶體生長以外，這齣動畫裏面亦有大量關於雪的鏡頭。Prof. Fedkiw的學生Prof. Joseph Teran亦設計了一個科學計算方法，來計算雪在不同情況下的變化，有興趣的可到的網頁看看[7]。

 

 

晶體生長的學術研究

 



上面提到所有關於動畫設計的軟件，聽起來好像比較似電腦科學工程。都是關於軟件製作和應用。可是上面每一個提到的項目，都可以是計算數學裏面一些非常學術的問題。比如說，這個晶體生長的模型，亦是我以前做過的一個問題。之前提到，在UCLA修讀博士時，曾經到過UC Irvine訪問Prof. John Lowengrub。那個時候我所設計的水平值計算方法，就曾經用來模擬雪花生長的情況。在那些計算裏面，我們可以簡單的改變周圍外在環境的溫度以及晶體的一些物理條件，晶體生長的方式及形狀就可以被計算出來。這裏面牽涉到兩個數學的問題。其中一個是因為外在環境影響，我們需要計算在區域內溫度的變化。這裏所指出的區域有兩部份，一部份是在晶體裏面的地方，另外一個部份就是從晶體表面一直到離開給予外在環境溫度很遠的地方。在晶體表面的溫度有一條物理方程式可以給與固定，而溫度就會關乎於表面的曲率以及晶體的生長速度。所以第一個需要解決的數學問題，就是在一個不固定的區域內如何可以由外在給予的溫度計算區域內所有的溫度。從物理上來說，這個溫度就需要符合一條叫做拉普拉斯方程（Laplace Equation）[8]的偏微分方程。跟一般本科生在偏微分方程計算方法（Numerical Methods for Partial Differential Equations）裏面所見到的不同，計算區域並不是普通的長方形或圓形，而是一個不規則，根據晶體形狀所給定的區域。

 

另外一個數學問題，就是從區域內所得到的溫度，去計算晶體表面上每一點向外移動的速度。這兩個問題對我來說都非常有趣。問題本身，在本科生應用數學課程裏邊基本上已經接觸過，可是把這兩個看起來完全不相干的問題連接起來，這中間就需要發展出一些新的計算技術，去得到一個準確而且高效率的方法。


[1] https://www.popsci.com/entertainment-gaming/article/2008-02/and-oscar-goes-fluid-simulation-algorithms/

[2] https://www.wikiwand.com/en/The_Day_After_Tomorrow

[3] http://physbam.stanford.edu/~fedkiw/

[4] https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/HSSST09.pdf

[5] https://www.wikiwand.com/en/Frozen_(2013_film)

[6] https://www.dal.ca/news/2014/01/24/-dr--snow--on-why-no-two-snowflakes-are-alike.html

[7] https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/SSCTS13.pdf

[8] https://www.wikiwand.com/en/Laplace%27s_equation

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