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生成式人工智能使用方法（二）

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學生如何在作業和考試中使用生成式人工智能 使用生成式人工智能來解決數學作業和考試問題應謹慎對待。雖然人工智能可以是解決數學問題的強大工具，但重要的是要理解基本概念和原則，並將人工智能工具作為自己知識和技能的補充。此外，檢查人工智能工具生成的解決方案以確保準確性，並理解解決方案的生成方式也很重要。 • 理解問題：在使用生成式人工智能來解決編碼/數學問題之前，重要的是要閱讀並理解問題陳述和要求。這將幫助您有效地使用人工智能工具，並確保生成的解決方案符合要求。 • 選擇正確的工具：有許多不同的生成式人工智能工具可用於編碼，選擇最適合您要解決的問題的工具非常重要。 • 有效使用工具：選擇了人工智能工具後，重要的是要有效地使用它來生成解決方案。這可能涉及輸入一些初始代碼或提供一些上下文供工具使用。確保您了解工具的工作方式以及任何可能的限制。 • 檢查解決方案：即使人工智能工具生成了解決方案，仔細檢查它以確保其正確並符合問題的要求也很重要。如果人工智能工具生成的解決方案不正確或不完整，您可能需要修改它或添加其他信息以使其正常工作。 • 理解解決方案：即使人工智能工具生成了解決方案，了解解決方案的工作方式和正確性也很重要。這將幫助您從解決方案中學習並將知識應用於未來的編碼問題中。如果您不理解解決方案的工作原理，您可能會在使用相同方法解決其他問題或修改解決方案以滿足不同要求時遇到麻煩。 • 將人工智能作為學習工具：生成式人工智能可以是編碼的強大學習工具，幫助學生解決複雜問題並學習新的編碼技巧。然而，重要的是將人工智能作為自己理解和技能的補充，而不是替代品。確保花時間了解人工智能工具的工作方式以及為什麼它生成了它所做的解決方案，並使用獲得的知識來提高自己的編碼能力。 此指引是基於由ChatGPT（由gpt-3.5-turbo提供動力）的回應所開發的。 利用生成式人工智慧協助的評分方案 每個作業和考試問題，學生必須提交兩個答案。第一個解答是由生成式人工智慧產生，必須包括提示或查詢以及軟體輸出。此提交可以是文字、複製並貼上，或使用截圖工具捕捉圖像。第二個解答必須是學生自己的工作，可以是與生成式人工智慧產生的解答相同，也可以是基於軟體輸出的不同解答。 每個問題的評分方案如下： • 如果學生的解答是正確的，問題將獲得滿分，無論是否與生成式人工智慧產生的解答相同。 • 如果學生的解答是錯誤（「...
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生成式人工智能使用方法（一）

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最近，科大發送了一封電子郵件，鼓勵我們擁抱人工智能技術，長遠來說使用它們來幫助學生學習。因此，本周要求所有老師考慮如何應對學生使用生成式人工智能技術（例如ChatGPT或Notion AI）。我認為這些技術非常強大，學生應該盡早學習如何使用它們來幫助他們的學習。所以，當學校要求我們決定是否允許學生使用這些技術時，我非常支持。然而，由於學校沒有提供任何關於如何把生成式人工智能技術整合到現有課程或如何調整成績安排的指導，因此我們有責任根據我們所教授的課程為學生設計合適的指引。 本學期，我教授的科目都與報告有關，學生不需要做任何功課或參加任何考試，只需提交一份研究報告。如果允許學生使用生成人工智能技術，是否意味著他們只需按一個按鈕就能讓人工智能寫出整份報告呢？下學期，我將教授一門應用電腦學習的微積分課程，我允許學生在考試時使用網絡搜索任何相關的資訊。在上學期第一次開設這門課程時，生成人工智能技術的計算能力還不夠強，因此我允許學生使用任何可用的支援。但在下學期，當學生被允許使用生成式人工智能技術在網上搜索如何解決數學問題時，我應該如何處理？是否應該允許他們使用？ 因此我編寫了兩份指引：一份簡要介紹學生如何使用這項新技術來幫助他們撰寫學習報告，另一份為我下學期教授的微積分課程設計的評分標準。
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與ChatGPT對話（二）

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  另外，因為自己在另外一個學期會教授一門用電腦編寫程式去計數的科目，所以也想知道這些聊天機械人是否能夠解答冷門科目上面的數學問題。上一個學期在教授這門科目時，因為容許同學們使用網上編寫程式工具，所以甚至在考試的時候，也容許同學們在網上搜尋答案。自己甚至乎跟同學們說，如果你們問Siri，他可以回答的話你也可以使用他的答案。所以在下一個學期在教這門科目時，我可能就真的要試一下不同的聊天機械人，看看他們是否能夠在我手上拿到一個好Grade。 首先是一條相對比較簡單的題目。 Tim：「python code to compute the distance between two vectors in 100 dimensions」 Sage：「Here's an example of how to compute the distance between two vectors in 100 dimensions using the numpy library: import numpy as np def euclidean_distance(v1, v2):     return np.linalg.norm(v1 - v2) v1 = np.random.rand(100) v2 = np.random.rand(100) distance = euclidean_distance(v1, v2) print("The distance between the vectors is:", distance) This code defines a function euclidean_distance that takes two vectors as input and returns the Euclidean distance between them. The input vectors v1 and v2 are generated using the random.rand function and are 100-dimensional. The function computes the Euclidean distance between the vectors as the magnitude of the diffe...
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與ChatGPT對話（一）

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  如果讀者有留意科技新聞，就會知道最近有一個叫做ChatGPT的人工智能聊天機器人程式非常出名，這個程式運用了一間叫做OpenAI的公司建立的大型語言模型並透過強化學習進行訓練。用家只需要在公司的網頁上註冊一個免費的帳戶，就可以在線上跟聊天機械人通過文字對話。用家可以提問任何問題，這個人工智能程式就會在網頁上自動產生答案來回答。所以這個機械人就好像可以跟人作出互動，一問一答。網上有很多形容的例子，例如可以要求聊天機械人幫我們撰寫一份演講稿，寫一封電郵，閱讀一篇文章然後找出重點，也看過有人要求聊天機械人幫手撰寫Excel的程式，等等。效果其實非常好，有些時候這些回答可能比真人來得更加有效率。想像一下，如果我們要撰寫一份文章，有資料蒐集，整理再慢慢一字一句的在鍵盤上輸入，可能需要幾小時。使用這個聊天機械人，他可能在幾秒內已經可以將工作完成。所以其實網上面已經有討論，指出這些聊天機械人在短時間內其實已經有機會代替一些工種。作為年輕一代的讀者，可能真的需要花一點時間去認識一下這些聊天機械人。 前一陣子自己也想試玩一下，才發現OpenAI現在並不容許用家在香港註冊。很可惜沒有辦法直接使用這個ChatGPT的工具。在網上找一下，發覺有另外一個叫做Poe的程式，背後所使用的也是由OpenAI所開發的程式，在這篇文章裏面就會簡單測試一下這個聊天機械人的數學或者編寫程式的能力。 由於最先測試的其實並不是ChatGPT （她只是其中一款Generative AI）而是其他Generative AI，所以嚴格來說這篇文章應該叫做「與不同generative AI對話」。 自己最先使用的是Poe1.1.9版本內一個叫Dragonfly的機械人。 Tim：「一個圓形直徑10cm他面積是什麼？」 Dragonfly：「一個圓形直徑10cm的面積是314.16平方厘米。」 Tim：「圓形面積點樣計？」 Dragonfly：「圓形的面積是由公式πr²來計算的，其中r是圓形的半徑，π的值為3.14159。所以，如果直徑是10cm，則半徑為5cm，面積為πr²=3.14159x5²=314.16平方厘米。」 Tim：「你再計一次？你好似計錯數」 Dragonfly：「抱歉，我沒有計錯數。圓形的面積是由公式πr²來計算的，其中r是圓形的半徑，π的值為3.14159。所以，如果直徑是10cm，則...
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如何學習數學（五）

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第三個學習的過程，就是我們要看看是否和如何能把課程不同的部份連結起來。很多時候知識是一層一層蓋上去的，課程後期的課題，有時是需要前面的方法作為基礎。能夠把不同的部份放在同一個課程裏面，然後出現着這樣的次序，就代表着前面所教的，可能是比較基礎，而後面的可能是前面的某些應用。如果同學們可以看見這些連結，就會更加掌握整套知識。 以數值方法這個課程為例，我們很早就會介紹插值（Interpolation）的方法。對某些同學來說，這個題目在課程內顯得有點格格不入，最主要原因interpolation給出的是一個函數，並不是數值。所以出現在數值方法這個範疇可能會顯得有一點奇怪。但其實他是整個課程裏面其中一個最重要的題目。其中一個原因，是需要運用他來連繫兩個關於「答案」的概念。用數值方法解決微分方程問題，我們得到的其實只是一堆數值，而不是一個函數。大部份數學系的同學都會學習到微分方程的不同解決方法，所有的答案都是一個函數。當我們見到數值方法會找出一些跟同學們所認知的「答案」不一樣的結果，我們就需要用插值將這些點連繫到同學們比較熟悉的答案上面。又例如，我們如何教導電腦計算函數的導數呢？其實也是使用插值的方法。我們會將函數抽樣，運用插值得到函數的一個近似形式，再去計算他的導數。如何教導電腦計算函數的定積分呢？方法也是差不多，我們也會將函數抽樣，運用插值的方法去找到函數的一個近似形式，再去計算這個近似形式的定積分。所以無論函數是如何複雜，我們都不再需要使用不同的方法去找出函數的反導函數（antiderivative），因為所有近似形式都是一個我們熟悉的函數，找他的定積分就相對比較簡單。 為什麼求根（Root-Finding）會放在前面呢？因為後邊我們解決微分方程兩點邊值問題（Two-Point Boundary Value Problem）時，有一個方法叫做打靶法（Shooting  Method），我們會運將兩點邊值問題重新寫成一個Root-Finding Problem，然後使用一些像牛頓法（Newton’s Method）的技巧快速地把答案找出來。然後，我們也可以使用Finite Difference的方法去解決同樣的問題。我們把函數的區域離散化，然後把方程式用Finite Difference的方法寫成方程組，這樣就可以把兩點邊值問題變化成一個高維的求根問題。 這些例子都...
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如何學習數學（四）

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當我們大約知道了為什麼我要學習這個數學知識，下一個問題就是「他到底是什麼」。這部份應該是同學們花最多時間的地方。在大部份課程裏面除了第一和最後一節課以外，我們應該用大部份時間在解釋和討論這個數學知識本身。以微積分課程為例，我們會花大部份時間介紹微分和積分，和他們裏面不同的方法和技巧。當然這些都非常重要，但在學習的過程更重要的是返回前面的一個問題，為什麼我們需要學這些方法？沒有了這些技巧，在計算時會遇到什麼困難？要知道大部份計算，儘管答案應該是唯一，找到這個答案的方法本身不一定是唯一。就是說，可能會有不同的方法都令到我們得到同一個答案。有些方法可能比較複雜，計算也需要花大量時間。而在學習過程，我們可能會碰到另外一套方法去解決同一個問題。裏面可能會有一個方法運用起來需要一點時間去掌握，但是找到答案的時間就會大大縮短。當我們一邊將不同方法作比較，我們其實就同一時間練習如何使用不同的數學技巧去解決問題。所以在學習的過程，我們不單止要掌握那個方法本身，更要了解在什麼時候我們可以使用這套知識。 舉個例子，在微分部份，我們會介紹乘法與除法公式（Product and Quotient Rules）。然後，經常會見到同學花很多時間去背誦尤其是除法公式，但是都考試時候又會把公式記錯，最後也找不到答案。如果同學們有花時間看一看這個公式本身，就會發現我們只需要把乘法公式弄清楚，自然可以從他得到除法公式（方法是把f/g寫成f*(1/g)，然後使用乘法公式，再將答案化簡，我們就可以得出除法公式）。當同學們通過比較和花時間消化，我們就根本不需要浪費RAM去記着那個相對比較複雜的除法公式。我經常跟同學們說數學家就是最懶惰記憶力又差。原因就是我們都不願意記太多東西。我們知道隨着時間過去很多事情我們是沒有辦法記起來。所以如果我們將過程消化，將答案理解，我們其實就已經把知識吸收。當知識成為了我們一部份，我們其實就不用再浪費氣力把這些知識牢牢記在腦海裏。 另外一個題目是隱函數微分法（Implicit Differentiation），我們為什麼要學呢？就是由於他可以提供一個捷徑幫助我們計算某個函數的導數。假如我們知道x跟y有着一個f(x,y)=0的關係，我們當然可以把f(x,y)=0嘗試寫成y=g(x)，再計算dy/dx可是很多時候要找出函數g不一定簡單，就算可以把這個函數找出來，計算他的導數也有機會很...
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如何學習數學（三）

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  學習一門新的數學知識，最重要的還是要解答一個最根本的問題，就是我為什麼要學習這個知識。答案絕對不是因為畢業要求，所有的畢業要求都有一個根本的原因。出現在大學必修課的內容，就一定是因為你之後的某一個科目需要這個知識。你如果沒有掌握這個知識，以後就很難在這個基礎知識上面繼續發展豐富自己的智慧。這問題要求的答案，當然也不只是因為以後另外的課程需要用到他。這答案其實就跟沒有問過這個問題沒有分別。仍然是其他人要求你學，你就去學。我所指出的，是我們應該要對這個學習課題有好奇心，要清楚理解這個題目是什麼一回事，他希望解決的是什麼問題？出現的背景是什麼？沒有了他會如何？當得到這些問題的答案， 我們就有些提示，知道將來在什麼情況下有機會使用這些工具。當然，這些問題的答案都可能不太簡單。一般來說，大學課程的第一節課都會給一個總論，盡量給同學解答上面的這些問題。自己覺得第一節課是整個學期裏面最重要的一節課，所以都比較花時間準備。如果同學們錯失了這一節課，就非常可惜。 例如在大學第一年的微積分，我可能（這麼多年，其實我都沒有教過MATH1003或者MATH1012或者MATH1013。最相似的，可能也要數10多年前在HKDSE出現以前的MATH021，也就是後來的MATH1018。這門科目把現在一整年的微積分課程濃縮用一個學期完成，對現在的同學來說，根本不可能了）會提到微積分是了解函數的最重要工具，而函數就是運用數學描述科學的最精準工具。所以如果同學們沒有辦法掌握微積分，就很難用一套標準的語言描述世界。以物理為例，我們運用函數描述物體的軌跡，運用微分我們就可以精準定義跟描述物件運動的速度。又例如，我們可以運用函數描述物質在不同地方的密度，運用積分我們就可以精準定義物體的重量。當然我們還可以有一個高層一點的解釋，嘗試指出微分是一個從宏觀到微觀的方式，而積分就是一個相反的過程，blar blar blar。但自己猜想在第一節課講這個那麼抽象的說法，只會嚇怕同學。可能講一下物理，講一下化學，講一下工程等等的應用，就應該足夠讓同學們明白到微積分的重要和他到底如何影響着同學們在大學以後的主修課程。 又例如，在數值分析的第一節課，我會首先介紹一些我們沒法用手計算的數學問題，再介紹一些我們不想一步一步用手慢慢做的繁複計算，然後就可以引入整個課題的主旨，指出我們需要教導電腦如何嘗試把答案找出來...
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如何學習數學（二）

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  自己很少負責同學們第一年的微積分課程，很多時候教的都已經是同學們第三或者第四年的選修課。跟同學們聊天或者從其他老師口中，常常都會聽到同學說「那些東西已經是幾年前所學的，大部份已經不記得了」。我們都會聽得一頭霧水，為什麼會忘記的呢？如果已經經過消化和吸收成為了認知的一部份，如何可以忘記掉呢？唯一的解釋，就是同學們根本沒有學過，不是說老師從來沒有在課堂上講解過那個知識，而是同學們只忙着把課堂例子和功課答案，匆匆的複印到自己的腦海中，用以加大自己的「題庫」。他們都仍然運用着中學時候的學習模式，只着重背誦，而不去嘗試掌握所教導的知識。當時間流逝，這些在短時間內放到RAM的數據就會慢慢消失不見。而殘留在Hard Disk的知識，並不足運用到在大學第三或者第四年的選修課上面。 從這些經驗，自己就會覺得同學們完全沒有掌握學習的技巧和能力，只着重背誦，以為自己記得越多，越代表對這些知識越掌握。其實同學們在中學時記得越多，考試成績可能會越好，但這其實並不代表同學們掌握那些知識。同學們在大學時記得越多，成績反而應該會越差。因為我們在設計考試時並不會顧及同學花了多少時間背誦課文，我們所設計出來的考試題目都希望了解同學們對知識有多掌握。所以你愈花心神充實自己的題庫，就越是浪費時間，結果無力去消化內容。對着一份你從來沒見過的考試卷，在記憶體裏面不斷搜尋仍然找不到相似的題目，然後不知如何回應問題，那成績自然差。 這裏並不是要怪責同學，其實一路以來我都只怪責考試模式並不鼓勵同學們練習自己分析、了解和吸收的技巧，沒有讓同學們有學習的能力。同學們根本不懂如何學習，甚至乎根本沒有人教過他們應該如何學習。從小的教育模式（起碼自己從小在香港所碰到的），大部份都是老師在課堂將書本上的知識用精讀的方法在黑板上講一次，我們聽一次，看一次老師在講解的練習題，自己看看書本上的另一條非常相似的題目，嘗試模仿一次解題方式。做得到答案的，就會被認定為對知識已經掌握了。做不到答案的，老師在黑板上將那一條題目做一次，同學們抄一次，回家把方式記到腦海內，這就被理解為學過那一個概念了。 所以我們應該如何學習呢？下面所提到的是自己的方法，有可能並不適合所有同學。但作為參考應該還是有一丁點用途。同學們可以嘗試一下，如果對方法掌握，自己覺得長遠同學們還是有一點幫助。始終學海無涯，人生就是需要不斷學習。如果不早一點掌握到一個...
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如何學習數學（一）

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  這篇文章我希望分享一下自己是如何學習數學。題目看起來很簡單，大部份的大學生已經經歷了很多數學科考試測驗，他們會覺得學習數學的方法應該非常清楚。但是從這麼多年的教學經驗，發覺同學們都會有一些錯誤的想法和觀念，所以希望這篇文章能夠給大家一些不同的想法，希望對同學長遠學習有一些幫助。 以我所知，大部份同學所謂學習數學，只重視增加自己的「題庫」。他們相信只要多花時間做練習，把所有考試題型記得滾瓜爛熟，能夠看見問題的第一句就把答案詳盡從記憶體裏面取出，這樣就是「有溫書」，「已經盡了力」，「搏盡無悔」，「把知識學習得一清二楚」。無可否認，這些同學在公開考試或者校內評核可能都會表現得非常出色名列前茅。因為大部份中學校內考試或者公開考試萬變不離其宗，有些題目可能是剪剪貼貼，從這裏抽取一部份貼在另外一部份上邊。只要同學有花時間「溫書」，考試都會表現得不錯。這樣，學校見到同學們拿到高分，自然會覺得老師教得不錯。考試局見到同學們成績都有所表現，自然可以對外宣傳同學們的數學水平很好，課程設計做得不錯。而且，考試局也可以「幫忙」一小部份「懶惰」的同學。對這些同學來說，他們可能根本不需要消化和明白這些數學概念，只需要把考試題目背熟，令到自己的「題庫」越來越豐富，成績也不會太差。 但這些同學真的明白那些數學概念嗎？記得前幾年我們數學系曾經針對大學第一年的同學做過一些統計，看看同學們在公開考試數學科的成績是否和大學第一年所必修的微積分課程的考試成績是否有很大的關係。就是說，如果同學們在公開考試拿到5**/5*在大學在修讀微積分是否也必定能拿得到好成績。以直覺來說，結果當然是肯定的。如果能夠在公開考試拿到這麼好的考試成績，應該就代表着同學們對數學的掌握不錯，在大學裏面應該也綽綽有餘，成績自然會好。統計結果指出，雖然兩個分數有關係（如果結論是完全沒有關係，那樣也太過出乎意料之外），但是關係非常少，統計上關係並不太過明顯。如果仔細看看數字，我們發現在公開考試取得好成績，在大學第一年的微積分成績只有C-range也大有人在，以往考試成績比較差的同學在大學也可以拿到A-range。對這些公開考試成績比較好的同學來說，收到這麼差的成績表當然會令他們大吃一驚，覺得為什麼大學的Grade那麼差，一定是學校的問題，一定是老師教得不好，一定是教的課程和考試範圍不一樣，一定是有一些東西教授沒有教，所以自己在...
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總結2022和展望2023

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  隨着疫情不斷升溫，每日達到20,000宗的時候，政府終於開放出入境，大量港人亦都回鄉（日本）旅遊（這句說話的邏輯跟香港政府的一樣）。所以在寫這篇2022回顧的時候，我也開始收拾行李在幾日後出發，迎接着差不多三年沒有離開香港的旅遊。 這個應該是今年裏面最重要的一段經歷。 不經不覺，Cora已經在我家差不多兩年了，還沒有可以跟蹤她IG（@ladycorathecat） 的朋友記得快些加入他的朋友行列。去年期望他可以更乖一點，少咬我一些。這個期望很可惜失望了 由於將會外遊，Cora亦都第一次離開這裏一段時間，希望他習慣。 身體健健康康回來。在寫這篇文章的時候，剛剛收到寄養的地方傳來訊息，告知Cora 已經一天未吃飯（哭）。 說到健康，今年其中一個不開心的消息，是一個研究合作者Prof. Roland Glowinski 在年初離世。其中一篇跟他一起在寫的文章，就變成了In the Memory of， • H. Liu, S. Leung, and J. Qian. A n Efficient Operator–Splitting Method for the Eigenvalue Problem of the Monge-Ampere Equation . Commun. Optim. Theory, 2022 (2022) 7.  就如同去年總結時所想，今年發出的論文總數是比較少的一年。除了上面這一篇文章之外，就只有另外一篇在Geophysics 上面發表的文章。明年的文章數目應該會多一點點，有其中兩篇已經被Accepted，分別會發表在J. Sci. Comput. 和CiCP上面。另外有好幾篇文章在Review，希望在明年可以通過審核。在「影響因子」上面，今年的整體有162次文章引用，H-index 維持在21，毫無進展。在之後的Spring Semester時間相對比較輕鬆，可以多放一點時間自己做研究。研究生方面，會多多「鼓勵」 （監督）他們，加快他們的研究進度。然後計劃會參加一些國際會議，其中五月應該會到美國參加一個SIAM關於動力系統的會議，然後在暑假會到韓國參加ICOSAHOM2023和日本參加ICIAM2023。 教學方面，剛剛這個學期新開了一門MATH3900 的科目，希望跟同學們一起學習如何做網絡KOL，嘗試鼓勵同學多跟公...
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與公眾交流數學（二）

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  另外一位同學因為跟自己以往的中學仍然有聯繫，他真的找了其中一班中四同學來做了一個STEM活動。他設計了一個運用肥皂水氣泡的遊戲去介紹關於最小曲面數學原理。自己沒有參與他帶領的這個活動，但是看見他所做的教材和一些遊戲的照片，也可以感覺到參與活動的中學生們對題目都頗感興趣。雖然題目是基於數學，但是在這些給中學生的活動裏面根本沒有介紹實質所需要的數學知識，而且在他的教材內甚至見不到任何重要的數學公式。在同學自己的自我反思裏面，其實也講到這個問題。做完活動，同學們好像很開心，覺得自己對數學的認知多了一點。但是在活動導師和我們眼內，其實這只是一個理解的錯覺，他們對minimal surface這個課題的認知還是等於零。而這個關於錯覺的課題，就正正是我們課堂內所討論的其中一個題目。所以可以看到，學期初關於不同理論的討論還是有一點作用。無論如何，我覺得這個題目本身也非常吸引。將來有機會可以把這個活動推介給另外一個課程的同學再多加改良，試試可否在將來的數學活動裏面用到這個題目。 有另外一位同學就開設了一個YouTube頻道（ https://www.youtube.com/@updatedoesmath ）去介紹一些數學的知識。前面提到，我並不會教他們如何剪片做動畫配音等等的技術工作（其實我自己也不懂怎麼做），所以看到同學們會自己學習這些技巧，造成一段短片放到網站上面，也感到非常興奮。他在最後一節課裏面的分享提到，動畫是他運用Python自己編寫程式製造，然後使用另外一套軟件配音，讓動畫的節奏和語音調到同一個時間點上。可以看到同學們對數學是如何充滿熱誠，願意花上這麼多時間向公眾介紹這些數學知識，自己也非常驚訝。 然後發現，班裏原來有一位作家，曾經在我們理學院Focus雜誌（ http://sciencefocus.ust.hk/ ）發表一些數學相關的文章。他在課程的作品，就計劃向Focus雜誌投稿，內容是關於不同距離的定義和他們在幾何上的應用。大家可以留意一下，看看他的文章什麼時候在上面發表。也有看見一些作品，做了一些關於數學meme的IG和YouTube帖，內容也非常有趣。將來如果有一些合適的，也讓我分享給大家看看。這門課上面的作品，也有一些是比較大型的。有同學計劃組織幾個志同道合的朋友，嘗試舉辦一系列的研討會，向其他同學介紹數學和哲學相關的題目。 整體來看，自己覺得...
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與公眾交流數學（一）

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  這個學期開辦了一門新的課程，叫做「與公眾交流數學」（MATH3900 Communicating Mathematics with the Public）。希望通過這個課程，鼓勵一下同學們嘗試跟他們的朋友或者大眾多介紹一下數學是什麼一回事，推廣一下STEM的知識給外界認識。在數學系這麼多年，經常聽到同學們對就業有一些疑惑，到畢業的時候仍然不知道自己的就業興趣，在大學幾年完全沒有為工作做任何的準備，以為畢業時就自然會有工作找上門，不用操心。所以前幾年我就有一個想法，希望設計幾個在數學系的課程，作為選修課，希望同學們在畢業以前有多一些機會計劃一下畢業後的工作方向。 最先出來的，是MATH4900 Academic and Professional Development（學術和專業發展）。我們把一系列就業相關的活動整合在這門課程裏面，內容包括了如何寫CV，如何做面試，同學們性格測試，一些舊生分享，和一些教授對談會等等。同學們只需要在學期內參加幾們活動，再我寫一下他自己的反思就可以了。 而這個學期第一次舉辦的，是跟同學們一起看看如何做數學KOL的一個課程（當然我自己也不知道怎麼做，所以這個學期都是跟同學一起學習）。聽起來好像比較虛無飄渺，但是在設計這門課程是在網上找一下，發覺ICM（International Congress of Mathematicians，就是每四年一次盼發Fields Medal的那一個數學大會）都會有一些討論，看看如何可以跟公眾交流數學。而這門課程基本上就根據2010年時候的一個討論環節來設計，有興趣的同學可以看一下下面的文章或者書籍 • Ziegler, G.M., Communicating Mathematics  to Society at Large, Proc. Of the ICM, Hyderabad, p.706-722, 2010. • Howson, A.G. and Kahane, J.-P. eds. The Popularization of Mathematics. Vol.5. Cambridge University Press,1990. 雖然這門科目叫做與公眾交流數學，可是我們並不會討論交流的技巧，不會教他們如何運用PS去做動畫，也不會介紹他們如何剪接和拍攝，不會安排一些場合讓...
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舊研究的新應用

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  上星期六我們和恒隆數學獎舉辦了一個分享討論會，跟兩位教授和研究生分享一下他們以往研究的經歷。由於他們都是以往的比賽得獎者，作為一個主持人，我就問一下他們那個時候做的研究課題是什麼，跟現在的研究項目有沒有什麼關係。準備這條問題之前，其實都不會有太大的期望，不覺得一個中學生在暑假所做的研究如何會跟博士研究課題會有所重疊。可是答案出人意表，在這個分享會之前的一次簡單對話，兩位嘉賓都不約而同說，他們那個時候所做的課題都有再次出現在之後的研究裏面。物理教授說他參加比賽的題目是研究「畫鬼腳」這句遊戲，在很多年以後，他所研究的量子力學課題，就有着一些相關的問題。自己猜想可能是跟粒子的spin相互作用有關。另外一位是在研究Brain-Machine Interface的研究，他就說腦裏面有着很多神經細胞，而他現在的研究就是發掘如何從這麼多關連的信息中抽取重要的來使用。而這個題目其實就跟他中學是用來參加比賽的題目有一點關係。 回想一下自己的經歷，也跟他們兩位有點相似。有些問題我們可能在很長時間都沒有再接觸，可是過了很多年以後，當我們遇到一個好像完全沒有關連的研究課題，很可能會突然間發現到一些特別的聯繫。還記得那時在修讀博士時，曾經做過一個反問題。我們假設可以得到從聲音發出的地方到達計算區域邊界上面的所有時間。然後嘗試估計在計算區域裏面不同地方聲音傳播的速度。那個時候我們還需要假設這些速度都非常平滑，不會有任何不連續的地方。那一份2006年發表的文章，裏面就運用了least-squares（就是用了2-norm）的方法把這個速度找出來。方法相當簡單，而且效果也可以接受。 但是，對於一些比較重要的應用，例如我們要發掘埋藏在地下的石油，我們就必須要放棄這個平滑的假設。由於石油通常會被一些岩石所覆蓋，所以我們需要估算的聲音傳播速度一定是不連續的。如果是這樣，我們在10多年前所設計的方法就不可能得到一些合理的結果。那個時候其實我們也已經有一點想法，知道如何改善這個least-squares的計算方式。我們猜想只需要將2-norm改變成1-norm，我們就會找得出一些不連續的速度函數。可是那時其實也花了差不多一個月時間把那個方法實現出來，可是結果跟我們所猜想的有點距離，整體效果不太好，原因可能和計算區域的形狀有點關係。由於那個時候我們為了方便計算，都只會考慮正方形或者長方形的計算區域...
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如何應對無力感

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  問：「如何應對無力感？」 這是一個非常難以解答的問題。始終自己不是這方面的什麼專家，不會有什麼專業的技巧可以分享給同學。所以下面的分享，也不一定是有效。 同學們當然會遇到很多感覺到無能為力的事情，無論是成績，感情問題，還是前途工作等等的問題。學業成績，可能覺得自己無論花多少時間在學業上，科大還是Stress and Tension，科科都「爛Grade」，全部都拿不到自己希望的A-range。覺得科大找不到異性（但其實全校男女生比例還是一比一），自己將會A0畢業。或者見到其他朋友個個「出pool」，朋友好像越來越少。而且，眼見自己差不多畢業，仍然不知道自己畢業後有那一份工再等我（可以跟你說，無論你修讀的是那一個科目，這一份工都應該不會存在），前路茫茫，沒有「父幹」又好像永遠買不到樓，日後生活都不知怎麼辦。思前想後，好像每一件事都沒有解決方法，又找不到一個伯樂，沒有人去幫助我。 這些想法我完全明白，世界是這麼的困難，這些都是大部份人每日面對着的問題。我想應該沒有人可以要風得風，要雨得雨，一切所有事都順從自己的心意發展，全世界圍繞着他運行。所以，無論任何人，都一定會有遇到不如意事的時候。老土些講一句，人生不如意事十常八九。碰到一件自己覺得無能為力的事，應該不會覺得奇怪。所以我覺得去應對這些無力感的第一步，就是需要接受他，明白到不是每一件事都能如你所願。 你要知道，你想碰見的難題不一定是那麼的奇特。當然每個人遇到的事情都不會完全一樣，可是世界上有80億人，每個人每天碰到的事情有那麼多，從機會率上來看，不會有多大的機會所有事都是唯一的。你所碰到的，很難只有你一個人在經歷。你覺得考試成績差，全校有那麼多同學都有着差不多的感受。你覺得買不到樓，全香港不見得有多少人畢業後數年就可以買得起私人樓房。所以你要知道，你旁邊有很多人都遇到同樣的問題，而且你並不孤單。我覺得，如果你可以找個朋友聊聊天，分享一下自己的感受，就可以從中得到一些共鳴。有朋友互相支持，就算有強大的無力感，也有多一些人可以互相分擔一下那些負能量。 但我覺得就算遇見一些自己無能為力的事，也不應該完全放棄。因為「不是每一件事都盡如人意」，就代表着有一些事情我們還是可以如願以償。你不作為，就代表着你放棄了這個心願達償的機會。盡人事聽天命，很多時我們只要盡力做過，結果是否如願，其實就不需要有太大的得失感。 最近歌...
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推卻同學的方法（三）

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自己比較常用的方法，是說自己沒有錢（笑！）。這個聽起來更合理，上面提過大部份學校還是需要研究指導老師付出同學某部份的獎學金去支持研究工作。而這些教授付的錢，當然不可能來自我們自己荷包，而是從我們向政府申請的研究經費得來。儘管每年都需要寫的研究計劃書，自己沒有那麼幸運，已經好幾年沒有拿到這些研究經費。所以這個「沒有錢」的理由也的而且確是部份的原因。以科大為例，如果沒有了大學或者學系的補貼，每一個研究計劃所包含的經費，根本不足以支持一個為期四年博士課程的獎學金（這樣你就知道香港政府對大學研究有多大的支援！）。所以有一些看起來比較有誠意的電郵，我都會直接跟他們說自己的「困難」，希望他們努力申請其他的地方。那實際的情況是什麼呢？這些經費其實就跟時間（不是其他東西）一樣，擠一擠就有，某些情況下大學或者學系還是有一點點的幫忙。所以我們拿到一個研究資助，其實應該有足夠錢去支持多過一個研究生。甚至乎這些獎學金，我們還可以向學系借，到將來有一天我們拿得到政府的研究資助，就可以償還給學系。那當然，有誠意不代表我們一定會考慮同學，所以當同學聽到「沒有錢」的理由，也不需要太尋根究柢，看看我們是否真的拿到研究資助。 就算有研究資助，我們也可以說「不好意思，我已經有幾位同學申請，應該已經沒有位置了」。同學們也沒有辦法真的追究我們是否跟幾位申請者在討論。到明年你再去那個教授的研究組看一下，就算找不到一個新的研究生，也可能代表前一年在談的好幾位申請者最後都到了其他大學。你也不一定能知道真相如何。 不同教授真的有不同應付同學的方法，自己覺得大部份都會採取不予理會的態度。所以起碼他回覆了一下電郵，寫了一個拒絕你的原因，我覺得已經非常有誠意了。而且同學們也不需要太過着緊那個拒絕你的原因，不需要太過把那個理由放在心上，這樣只會影響自己的心情。收到拒絕的決定，就應該盡快收拾心情，嘗試其他的可能性。  
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推卻同學的方法（二）

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文章講開頭想提到我們統計組同學的經歷，他嘗試聯繫校外的一位教授，看看他會不會有研究生位置的空缺，希望找他作為研究指導老師。他在會議上跟我們說，那位教授指出科大學生的理論基礎比較薄弱，所以他不會考慮。同學甚至告訴我們，有一位他的師兄CGA高於4.0也被拒絕。聽起來，同學好像有點深深不忿，覺得自己可能不夠努力，沒有花太多時間在那些理論部份。其實世界這麼大，研究組有那麼多，研究方向也各有不同，同學們其實不需要因為一丁點的所謂理由而對自己的能力提出質疑。始終每位老師所做的研究方法都非常不同，可能他們其實想找一些純數學背景的同學，所以我們統計組的所有課程那位教授可能都看不上眼。要知道每個學系在課程設計的時候，都會有着不同的理念。我們希望訓練出來同學的能力跟其他院校的學生都不一定相同。如果那位教授覺得我們學系出來的學生並沒有掌握他所希望的能力，同學們大可以放眼世界，看看其他地方有沒有他感興趣的研究方向，不一定只看着某一兩位教授。 我們經常會收到不同地方同學們的電郵，說他們對我們的研究方向很有興趣，詢問我們是否可以取錄他當研究生。每間院後收取研究生的方式各有不同，當然有一些是教授自己直接取錄學生，然後他們也有責任提供某部份的獎學金去支持同學在研究院的生活，所以他們對同學的研究院申請有着最終的決定。由於有這個金錢上的責任，教授們挑選學生時可能也非常小心。尤其在美國，支持一個海外研究生的經費可能已經等於找一個博士後，所以對很多海外教授來說，他們都有非常充足的理由去拒絕海外學生申請入讀研究院在他的研究組裏面工作。拒絕這些申請，方法跟上面的也差不多。最簡單的，仍然是不與理會。自己對大部份這些電郵都採取這個方法。那些發電郵給我們的同學，大多數都來自一些我並不了解的大學。儘管那些同學可能已經發了好幾篇研究論文，但我對那些研究題目真的一竅不通，根本沒有能力去判斷那些研究成果的水平。所以要應付那麼多相類似的電郵，我還是採用了這個最簡單的方法去處理。 一般我都不會採用直接批評的方式，指出同學們背景怎樣怎樣的不濟，又或者是他的學校排名那麼那麼的低。這個聽起來好像是一個非常充分的理由去拒絕同學的申請，但仔細一想我其實並不覺得這是一個合理的理由。始終做研究，所需要的能力不一定能夠在本科生時候拿到的成績可以看得出來。還是那一句，我們找學生並不是希望他來讀書，而是希望跟他一起做研究。如果沒有做研究的能力，根...
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推卻同學的方法（一）

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前幾天數學系舉辦了這個學期的學生聯絡會議，讓同學們分享一下對數學系的意見，也讓學系告訴同學一些課程上的新發展。其中有一位學習統計的同學分享他找研究指導老師的經歷，說他跟其他大學教授的見聞，自己覺得比較有趣，也趁這個機會分享一下我們是如何推卻同學不同的要求。 同學們當然對我們有很多要求。這些要求可能包括分數的調整，說自己考試雖然中間的步驟全錯，可是答案是對的，要求我們都給他們給分。可能是科目最後成績不如自己所想，希望我們幫他們更改成績。這些關於考試成績分數等等調整的要求，應該都不難處理，只要我們沒有發覺有改錯的地方，而且批改方法都一視同仁，就不需要太放在心上，只需要跟同學解釋我們不可能為他一個人更改評分標準，那就可以了。當然有些同學會死心不息，不肯離開，如果真的是這樣子，我自己傾向不跟他面對面討論這個評分標準是如何的公平公正，只會說我回去想一想。當然這些想一想的結果，大多數都會保留這個已批改的分數。自己覺得這就可以避免同學們有機會在辦公室跟我們大吵大鬧大哭。讓他們冷靜一下回家跟其他朋友傾一下，這也是一個解決方法。 另外一些要求，可能是同學們希望我們幫他們寫推薦信。記得之前有寫過一些文章，分享幫同學寫推薦信的想法。推薦信其實我們寫非常多，不可能每一篇都完全不一樣。對那些我們只認識一點點的學生，我們只會找來一篇寫給其他同學的推薦信稍作修改。所以寫這些沒有太多內涵的推薦信，根本不需要我們太多時間。反而，我們更重要的想法，是這封推薦信是否真的能夠幫助同學不論是拿到這份工作還是可以幫他們得到一個其他學位的錄取。所以如果我們不想寫這封推薦信，最主要的理由還是應該我們真的不想推薦同學。 那有什麼方法在不太過傷害同學自尊心的情況下，推卻了這個同學的邀請呢？最簡單的方法就是不回覆同學的電郵。大部份這些情況，同學都會發電郵邀請我們幫他們寫這些推薦信。如果我們連理由也不想給，其實不回覆就比回覆一個「Thanks but no thanks」的信息更好。當然我們也有可能忘記回覆。所以同學們過了幾天沒有收到回覆，再多發一封提醒，那就可以了。所謂「不回覆也是一種回覆」。同學們就請邀請另外一位教授好了。比較好一點的理由，可能是回覆「最近比較忙，應該沒有時間寫一封好的推薦信，所以同學們可以嘗試先找另一位教授寫。如果真的找不到，再找我好了。」上面提過，寫封推薦信應該不需要花太多時間。況且大部份時間我們...
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點先可以喺你手上攞靚Grade

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問：「點先可以喺你手上攞靚Grade」 其實方法非常簡單，只要同學們覺得合格的成績都是好成績，那就可以了（笑）。 如何定義一個好成績，實在非常困難，每一個人都有自己的定義。你可能覺得只有拿到A Range才算是好成績。有些同學可能覺得如果能夠拿到一個B+的成績，就已經是他在大學以來最好的分數，實在是一個靚grade。有同學可能覺得我給予的A+太少，也不算是一個grade神。要回應大部份同學的期望，我會說，所有人都話科大給予的grade實在太差，平均的只有C-，那如果你已經拿到一個比這個「平均成績」更好的，還有什麼好投訴呢？ 所以拿到一個成績到底是「靚」還是不好，完全在乎同學們的期望。如果拿到成績比你所期望的好，可能喜出望外。如果拿到的成績比你的期望低，無論你成績是什麼，你都會覺得我是killer。因此最重要的，是你的期望。如果你這麼重視分數，請把你的期望調低一點，那你所可以拿到的成績自然會看起來漂亮一點。同學們要明白，大學跟中學非常不同，儘管你以往是校內天才，好像不用什麼讀書也可以拿到好成績，在大學裏面你見到的不是那幾十位同學，而是一些對學系有興趣有能力的同學。他們可能來自不同名校不同地區不同國家，都是我們從芸芸的申請者中挑選出來跟你們一起學習的朋友。在這個背景下，你不一定都顯出特別優秀。我不是希望降低同學們的自信心，而是希望同學們明白人外有人，你不可以用跟以往同樣的尺去衡量現在你所見到的其他人的能力。 在大學裏面你需要比較的不一定是成績。所以你成績表上是否都能夠拿到靚grade不應該是你最着緊的東西。始終不是每一個同學都希望拿到一張漂亮成績表去申請研究院。對大部份同學來說，反而應該着緊另外一張「成績表」。如果你畢業以後的目的是希望找到一份自己喜愛的工作，你更加應該重點培養自己的其他能力，希望豐富自己的CV和工作經歷，讓你將來的僱主更能夠了解你的工作表現，令他覺得你可以幫助公司發展。自己覺得這張成績表反而更重要。而這張人生的成績表並不是由我們給你一個什麼樣的成績，而是你從工作或者待人接物的經驗裏面如何令到自己成長。一張成績表，可能是從你畢業以後得到的工作面試機會裏面，由面試官現場給予你一個的分數。考試範圍可能是你以往工作經歷，可能是你解決問題的態度，可能是你是否能跟其他人溝通，也可能是你對職位的期望等等。考試範圍比任何一個大學科目更廣，要求解答時間更短。人生成績表，...
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喺科大呢個舒適區咁耐，有冇一刻想過要試新嘢

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  問：「喺科大呢個舒適區咁耐，有冇一刻想過要試新嘢」 我猜想問題的背後，其實想知道我在科大10多年是否會覺得悶，希望換一個跑道，多嘗試一點不同的事業。 自己其實真的是一個怕悶的人，同一件事情如果不斷重複真的會有點失去耐性，希望會有一些新的刺激，讓自己不會在同一個位置打轉。如果同一門課程每個學期不斷重複，自己也會覺得有點悶。所以同學們修讀我的課時，很有可能每一次聽到的東西都有點不一樣。拿着去年教的筆記，可能會發覺有很多不同的地方。可能是在課程編排上面前後有些不同，甚至乎教的深淺也有可能不一樣。可能自己希望多變，就算做同一件事好幾次，都會變出一些新花樣出來。將本課程大綱不可能作出太大改變，在教學上面我們還是會有很多自主性，可以作出改變的地方還是很多。所以就算不斷在教好幾科科目，自己還是覺得可以接受。而且同學每一年都不一樣，對我來說也有一點不同的挑戰。 研究的自主性比起教學更多。就算同一個問題，我們還是可以不斷在裏面做研究。可以發掘不同的研究方向，研究方法。所得到的研究成果也會有點不一樣。做研究裏面還會遇到不同的問題。我們還可以運用不同的方法技巧去解決。所以做研究，每一刻對我們來說都是一些新的挑戰。而且知識日新月異，我們還是需要不斷學習，認識新事物。看看一些「潮流」一點的東西，看看他們可不可以運用在自己的研究範疇裏面，去作出更大的影響。所以雖然在科大這麼多年，自己還是覺得在研究的範疇還是可以不斷「試新嘢」，刺激一下自己的思維。做了研究這麼多年，還沒有覺得太沉悶。自己還是非常的享受解決難題的過程。 當然，如果生活裏面就只有教學和研究，這樣也太過沉悶。所以自己還是喜歡看看有沒有其他的機會，多嘗試不同的事情。比如說自己也挺喜歡做報告，介紹一下科大帶給其他人認識。所以前幾年有一個機會得到當時是理學院院長（現任科大校長）葉教授的信任，希望我擔任其中一位副院長幫助理學院收生，自己也有一點受寵若驚。雖然這樣說，自己還是有點享受可以到處介紹我們的理學院課程。所以自己在科大的工作，也漸漸從教學和研究，增加了一點行政的經歷。同一個放大的介紹PPT，自己每一次的演講，可能還是會有不同。這個我自己也不一定發現得到，反而是從同事口中知道，我每一次所講的事情都可能隨着心情不同而有所改變。 直到最近兩年，由於行政工作也做了一些時間，發覺生活上可能也需要有一些新的轉變，讓自己多學習一些新事情。...
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要「入行」做數學研究有什麼條件

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  很多同學擔心自己沒有足夠的數學基礎，研究對他們來說可能遙不可及。他們可能覺得自己成績未能達到4.3，可能沒有資格「入行」。當然有一些教授們，他們在本科生時成績非常優異，通通都可能是拔尖入大學，畢業拿到學術成績優秀獎。但考試成績優異，並不等於研究才能優異。考試所需要的技巧，是對課程內容的掌握。而研究需要的技巧，是要去知道問一個什麼樣的問題，然後所找的是一個什麼的答案。兩者所需要的才能可能會有一點相關。考試成績優異，代表着同學在有限的時間裏面有機會可以找到解決數學難題的方法。有機會，是由於跟考試不同，在研究過程裏面你不一定知道這些技巧從那一個範圍裏面出來。考試始終有一個考試範圍，你知道解決這個問題的方法都會在這個課程裏面睇到。可是當我們解決研究裏面所看見的數學問題，我們就必須從自己以往的經歷或是從不同渠道得到的知識裏面找一下，看看有沒有相關的解決方案。「考試範圍」就跟修讀一個普通課程大大不同。更何況我們考試就針對的，只是解決問題的方法，同學們根本不需要找出研究的問題。就算本科生成績優異，也不代表同學們有發掘研究問題所需要的洞悉能力。 同學們也可能會覺得自己應該要修讀完這個這個這個以及那個那個那個數學課程，才可以跟教授拿一個研究問題，開始做自己的研究。當然如果同學在開始研究前，已經將所有背景資料完全搞懂，也掌握了一切相關的數學知識，做研究當然有機會如魚得水，毫無困難。但我自己覺得，這個要求未免太強人所難。就算教授自己，在開始一個新的研究課題時，也不可能把所有背景資料弄得一清二楚。很多時候，甚至乎到底解決這個數學問題是需要的是什麼知識，我們也有可能未能掌握。而且，如果同學們覺得自己都必須要修讀所有相關的科目才可以開始做研究，但根本就沒有時間真的做完夠了。課程是永遠學不完。知識也根本是無窮無盡，不可能有把所有知識都掌握的一刻。 自己覺得，最重要的是有學習能力和對數學問題有好奇心。需要學習能力，是因為做研究時，一定需要不斷學習新知識去解決不斷碰見的困難。我這裏所講的學習能力，是指你是否有自主學習的能力。希望同學們明白，要修讀課程才能學習知識是一個非常被動的過程，你可能需要數個月，每星期不斷上課，被動的吸收教授在課堂教導的知識。這都不是一個有效率的方法。一個課程裏面提到的不同元素，都不一定跟你所做的研究有所關係。如果你又要發好幾個月上課做功課考試，去證明你掌握了那一門...
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做數學研究大概是什麼一回事

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  數學研究跟其他學科研究一樣，目的都是希望創造新的知識。我們希望可以發掘一些以往研究人員並未完全清楚了解的事情，然後嘗試去解答這些問題。我自己所做的是應用數學方面的研究，所以容許我只針對着這個範疇繼續多解釋一下。我們所做的研究可能會有幾個方向，可能是運用數學的技巧，去解釋日常生活裏面所遇到的不同事情，或者去設計方法解決現實生活裏面所遇到的問題。 第一個研究方向是我們經常所提到的數學模型。我們希望運用數學的方法，提出一個對日常生活遇見事情的解釋。在課堂裏面我會提到一個鐘擺模型，我們很常在日常生活見到東西左搖右擺，譬如舊式吊鐘，風吹着樹枝，甚至乎是很久以前一個拍攝影像，看見風吹過一座大橋，他擺動越來越大，最後倒塌。這些都是我們日常生活會見到的事情。我們希望運用數學的方法解釋這個現象為什麼會出現，然後通過這個數學模型，希望得到一個預測，知道在不同條件下，這個系統會有什麼不一樣的反應。例如上面大橋倒塌的例子，如果我們可以知道為什麼擺動幅度越來越大，我們就有機會看一看是否可以通過改變這個數學模型裏面的一些參數，去防止意外的發生。自己有做過好一些不同的例子，包括了高頻波的傳播模型，量子力學的非局部現象，晶體生長模型，圖像處理等等。這些聽起來都不像是數學科的研究，可是在應用數學範疇，這些都是非常重要的研究題目。 另外一個方面，我們也希望能夠設計一些新的方法去解決上面不同數學模型需要解決的數學問題。由於數學模型所運用的技巧有所不同，我們有時可能需要解決不同的數學問題。他們可能包括大型線性代數問題，優化問題，也可能是需要解決一些微分方程或者偏微分方程。當這些問題越來越複雜，我們可能沒有方法得到一個確切解。所以我們有些時候也需要設計一些新的計算技巧去幫我們用最少的時間去得到一個更準確的近似值。在電腦出現以前，學者可能需要根據數學問題的特性，設計不同找出近似值的方法，可能是將非線性問題簡單化，甚至乎先從一些特別情況考慮，將某些變數用近似值的方法推向零或者無限大，看看這個複雜的數學模型可能得出什麼的結論。近代的計算數學，就可能直接看一下非線性模型，着重研究數值方法的準確性，收斂性，或者是研究一下計算的複雜性。如果對純數學有多一點背景，研究人員也可能運用一些分析技巧，看一下從電腦計算出來的答案有什麼特性，例如他的光滑程度如何，存在於那一個函數空間等等。 也有學者將這兩個不同的方向都...
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不確定自己寫的證明對不對，可以如何學習

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問：「不確定自己寫的證明對不對，可以如何學習？」 到底有什麼科目或者課程，教過我們如何寫一個證明呢？回想一下自己的經歷，也真的沒有一個科目詳細介紹不同證明的方法。 雖然我們經常說數學教到我們邏輯思維的能力，但是我們好像真的沒有教過如何使用邏輯思維編寫一個證明。所以同學們這個問題非常重要。 以往曾經說過，數學是一門語文科目。有一些大學的碩士課程，所頒發的學位其實是一個文學碩士（Master of Arts）。自己也從UCLA 上拿到這個MA 的學位。跟中文英文一樣，這個語言科目也是用來描述事情，跟其他人溝通。數學所需要描述的，可能是邏輯推理， 經過一部一部的驗證，最終達到某一個結論。也可能是用來描述大自然規律的一套語言，要跟其他人溝通，我們就必須要能夠有一套可以準確描述事情的語言。 這套語言並不會因文化背景生活環境而有所不同。要不是，在這個文化上我們達到這個結論，可是在另一個文化背景下，我們有機會得出的截然不同結果。所以如果我們需要準確的描述真理，就必須有一套非常嚴謹的語言。 跟我們從小到大學習其他語言一樣，我們都會學到他的規律。可能是文法，也可能是詞彙本身。數學也一樣，我們有不同的數學符號，他背後所代表的數學特性。這些都要通過時間慢慢學習，不可能一出生就把整套語言融會貫通。而撰寫一個證明， 就可能跟我們在中學時作文一樣，都係要通過不斷練習從中學習。每次寫完作文，老師都會看一次，幫我們改正中間的錯誤。我們收到批改後的文章，都會看看中間老師作了什麼改動，然後有一個叫做謄文的動作，讓我們慢慢消化整天被修改過的文章。以往從來沒有想過這些練習有什麼作用，我想這些跟我們學習寫一個證明是一樣的過程。我們都會自己先寫一次，作為功課老師會批改，然後發還給我們。大部份情況我們都不會再仔細看看批改了些什麼東西，只會看最後的分數。等同學如果有時間，其實應該看一下答案，看看這個標準答案跟自己的想法有什麼不同。證明本身並不唯一，就是說每個人可能會有不同的證明方法。你所想的方法不一定是錯，但不一定跟標準答案一樣。這樣我們就可以看一下其他人是如何運用同一套語言，編寫出一篇美麗的文章。有些時候我們在課堂上也會教導一些定理的證明，同學們也可以從中看一下這些證明的方法。 當然，自己摸索的方法不一定最有效。網上有很多不同的教材，很仔細的教授不同撰寫證明的方法。這些就跟我們從小學習英文科一樣，學習不同的文法...
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作為一個研究生，如果研究毫無頭緒或者沒有一些大發現，是否會不能畢業

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問：「作為一個研究生，如果研究毫無頭緒或者沒有一些大發現，是否會不能畢業？」 如果只是「沒有一些大發現」，畢業應該還不是一個大問題。大家都明白研究不一定有成果，要求同學們畢業之前有一些驚天動地的大發現，可能非常不切實際，甚至乎對教授來說，是否每一個研究問題都能夠做出來，得到一些大發現，其實仍然是一個未知數。作為教授，我們只敢說自己對某一個題目是否能夠成功有多一點點的信心。研究是否能做出來，還是需要做過然後真的做出來了，才敢說自己做出來。 我自己對碩士學生的要求，可能是他們需要對某一個範疇有充分的認識，再給予一些研究想法之後，他們能夠把那個方法實現。 對大部份的結果， 可能沒有太大的驚訝。研究範疇還是在我大部份認知裏面發展。對自己來說這些都不是一些「大發現」。但起碼，同學們的畢業論文還是應該有一些新意，並不是一份文獻綜述 （Literature Review）。 始終這是一個研究學位，兩年裏面所得出的結果應該跟本科生同學所做的項目有所分別。 博士生的要求就更高一些，他們不但需要有充分的認識，能夠把某些研究想法實現，我還希望他們有自己的想法，能夠給予我一些新的刺激，教我一些新的東西。 始終他們在某一個特定範疇花了四年時間，對這門科目的掌握應該要比我還好。 能否畢業，就要看他們是否有發現問題解決問題的能力。他們研究的結果是否「大發現」其實並不重要，是重大發現當然好，是小發現其實也已經足夠了。 反而「毫無頭緒」就是大問題。是由於不知道研究指導老師希望同學解決的是一個什麼樣的問題？是同學們還沒有理解問題到底是在問什麼？是同學不知道解決問題的方法？ 還是不知道自己是否把問題解決了？ 自己猜想，所以大部份同學來說，可能是不同的難處都遇到一點點。可能也不清楚自己對問題理解得有多深，更不用說是否能夠解決一個研究問題。所以研究指導老師就特別重要。它可以帶領同學做這個研究。同學們千萬要多找教授討論，這樣他們才可以幫助你解決問題。研究還是需要一點經驗，多一點經歷才可以指出問題所在。我也經常跟本科生同學說，如果你們對研究這一門「行業」有興趣，想「入行」，就記得在本科生時嘗試一些研究計劃，無論是大學裏面的本科研究計劃（ UROP ），還是只找教授指導做一下小小的研究，這些都可以給同學們一些經歷，看看自己是否真的對研究有興趣有能力。 對已經在研究院的同學來說， 能否畢業應該還不是一個最大問題。最...
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大學本科的數學那一個topic最難或者最容易

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問：「大學本科的數學那一個topic最難或者最容易。」 這麼多年的經驗，有一些同學可能未能掌握學習的方法。在大學幾年的學習生活，還是使用中學時候學習模式，着重於背誦，而不去理解背後的原理。對這些同學來說，數學系裏面所有的課程，對他們來說都非常困難。想像一下， 大學裏面一門科目，我們會用一個學期（就是說三個月）的時間一次過學習 整個高中數學的課程，大部份同學根本不可能將所有知識背誦起來。就算可以，不要忘記一個學期同學可能需要修讀四到五科課程。這就差不多將整個高中課程（不單單是數學科，而是將同學五到六個高中科目加起來）用三個月時間學懂。沿用以往的模式，根本不可能掌握這些知識。 所以重要的，並不是那個題目容易那個題目困難，而是同學們有沒有辦法用最短的時間吸收和靈活運用到那一個科目希望同學掌握的知識。 就以大學一年級微積分課程為例，內容對某些同學來說可能已經有所認識。始終在高中課程裏面延伸課程一或者二裏面其實都有提到微積分。所以同學們可能覺得自己已經掌握所有技巧，這兩們在第一年收的數學課程可能並不重要。甚至乎覺得，自己在文憑試拿到5** 的成績，在班內一定可以「屈機」，輕鬆拿到A+的成績。 要知道大學裏面的考試並不是文憑試，我們沒有題目可以給你們「捉路」，題目千變萬化，出題方式和難度也可能根據教授而有所不同。同學們如果仍是運用以往讀書方法和應付考試的模式，很可能就會滑鐵盧。 所以微積分好像很簡單，實際上可能也非常複雜。 相對比較難掌握的數學課程，可能是一些比較抽象的科目。這些科目沒有辦法運用背誦的方式學習，只是需要通過想像力去掌握。例如大學二年級的多元微積分 （Multivariable Calculus），很多時候我們沒有辦法好像大學一年級的微積分那樣把東西簡單的畫出來。很多的特性都需要同學們運用自己想像力在腦內呈現。又譬如線性代數，很多定理都是非常抽象，所描述的事情都在高維空間出現，所以同學們只能運用邏輯推理的能力去「感覺」。當同學們能夠掌握所描述的知識，課程都非常簡單，大部份功課考試題目只需要數行的運算就足夠了。 有些時候覺得，課程容易與否（就是說同學們能否掌握課程要求）某程度上也會受到教授的影響。我們並不一定可以清楚解釋課程的中心思想，同學們為什麼需要學習這門課程，科目希望想解決的是什麼問題。如果這些問題沒有在課程開始時候得到明確的解答，同學們很可能在學期初就已經覺...
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YouTuber系列 - 計算數學在生活中的應用（下）

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YouTuber系列 - 計算數學在生活中的應用（中）

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YouTuber系列 - 計算數學在生活中的應用（上）

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本地收生的近況（二）

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假如我們看一下2018年中五的學生，在校同學的人數為51728人，他們在2019年升到中六，在2020年考HKDSE，到同年九月經JUPAS入讀大學的人數就變為41238人。一共下跌了20.3%。看一下在2019年是仍然為中五的同學，到他們2021年入大學時，報考JUPAS的人數就下跌了19.5%。再下一屆，人數就下跌了21.2%。所以如果我們看一下在2021年中五的學生，就可以估算在2023年參加JUPAS的人數。用近年比較差下跌21.2%去估算，明年JUPAS的人數將會大約為49144x(1-0.212)=38725人。自己覺得這個可能是比較正面的估算，如果「移居」到外地的同學更多，明年可能就會有更大的跌幅。 上面的討論，還沒有計算未能符合大學最低入學要求的限制。一般來說，大部份大學還會要求同學們有332233的最低入學要求。就是中英文拿到第三級，數學和通識拿到第二級，然後還有另外兩個選修科拿到第三級的成績。所以在扣除這些未能符合入學資格的同學，可以考慮的就遠遠低於39,000這個人數。 當然，扣除了332233這個大學門檻以後剩下來的同學，並不會都是我們所考慮取錄的對象。始終作為理學院，我們還是希望同學有一些理科的訓練。所以其實更重要的，是到底有多少同學報理科的公開考試。最新一年的數字還未公布，但如果我們看一下以往的數字，還是可以有一點感覺。在幾個理科科目裏面最受歡迎的仍然是生物科，在2021年是仍然有多於11,000位同學補考。其次是化學科，人數仍然高於10,000。物理科為第三，有8700百多名同學報考。而我們看得比較重要的M1加上M2，只有大約6000名考生。如果將時間放長一點，比較一下整體考生人數的變化，可以看見修讀理科科目的同學下跌幅度還是相對比較少。可能是由於中學還是看見理科的重要性，仍然希望多同學修讀一些理科科目。儘管從2017年到2021年整體考生數目下跌17.2%，不同理科科目下跌的幅度就顯得相對比較溫和。生物和化學兩門比較熱門的科目，下跌了大約14.2%，物理科下跌了大約16.2%，數學延伸部份整體只下跌了10.7%。這些數字對科學或者工程為主修的學科來說還是比較正面，雖然是下跌，但是仍未至於是山崖式的跌幅。希望同學們都了解到STEM科目的重要性，都多花時間在中學時學習多一點。 最近幾年，發覺越來越難收到一些對科學充滿熱誠而又有能力很快掌握...
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本地收生的近況（一）

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上星期大學聯招放榜，希望各位同學都可以被自己心儀的學科所取錄，在四年大學裏面過一個自己喜愛的生活。在媒體上面看到不同的報道，可能是針對着成績非常優異的同學，看一下他們到底到了那一所大學唸那一個課程，看一下有多少同學讀醫科，有多少同學到外國等等。自己幫忙理學院做關於收生的事情已有幾年，在這篇文章從另外一個角度看一下大學取錄學生所遇到的問題，講一下自己對這幾年本地收生的感想。 先講一下本地大學收生，同學們需要經過一些什麼樣的程序。同學首先要完成六年的中學課程，然後參加本地公開試，就是一般所講的HKDSE。考試還考試，報讀大學還是有另外一套制度。同學們一般會在中學最後一年（就是中六的時候）決定自己希望報讀的大學學位課程。然後按着自己所喜歡的次序，將20個選擇放到一個名為JUPAS的系統。自己一般會建議同學先按着興趣從第一排到第20個選項，而不要只看着課程去年的參考成績排序。當然這套系統非常複雜，網上見到有很多不同的KOL討論，建議同學應該如何玩這個遊戲。當然大部份這些人都沒有直接參與這套系統，內容方面就可能有時不太準確。所以同學們千萬不要太過倚賴這些網上流傳的資訊去排序。然後同學們在中六下半學年，就會參加公開試，再過幾個月就會收到成績。大家按着考試成績，還有機會去改變自己之前所選擇的20個選項，可能是加入數個新選項，也可能是重新排序等等。然後再過大約一個月，這套JUPA系統就會分派大學學位給所有同學。 首先講一下到底有多少同學會參加這個香港的公開試。在教育局的網頁上，大家可以找到相關的資料。儘管最近一年的數字還未公布，大家還是可以看見人數不斷下跌。從2017年的51192人，到2018年的50642，逐年下跌，到去年2021年，就只有42386在校同學參加這個公開試。四年一共下跌了17.2%。特別是2019年，參加公開試的人數大幅下跌了7.2%。有一個可能性，是由於所謂龍年嬰兒的影響。往回推算，由於龍年效應，2000年的出生率有一波大幅上升，所以可能到了大約2017或者2018年時，同學數量相對比較多。由於基數大了，到2019年適齡學童有機會顯得相對比較少。但是如果在仔細看一下過去10年中六在校同學數目的變化，我們還是會比較平穩地以每年大約6%的人數下跌。在2016年所有中六學生人數有55023人，到2017年就下跌到54669人（下跌了6.2%），在2018年就下跌到5...
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本科生需要知道的大學潛規則 - 校園生活篇（三）

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從不同朋友身上，你會學到不同事情，你會看見其他人如何生活，對事情會有一些怎樣不一樣的想法，而這些經歷就可以幫助你更清楚自己，了解自己是一個怎樣的人。這個也是校園生活可以給予你一個很重要的刺激。上課學習，去了解學科上面的知識還是相對比較容易，始終也有教授和助教幫忙，他們會給予一些指導，你遇到問題還是有人可以給你解決那些困難。可是要了解自己，卻是相對困難。理論上沒有人比你自己更了解自己，如果你連自己是一個怎樣的人也不清楚，其實很難有人可以作為你的人生導師。所以如果有機會在進入社會以前，在一個相對競爭比較沒那麼激烈的環境，你可以放下緊張的心情，通過不同的經歷，了解自己如何面對困難，性格上有什麼優劣之處，這對你人生將會大大有益。例如，你可能發覺自己相對比較內向，很難跟別人打開話題，認識新朋友。那你可以在大學這個環境，嘗試多跟不同的人接觸，看看困難的地方在哪裏，感覺一下自己是不是需要作出一個改變。始終作為一個學生，機會成本相對很低。就算你試過，發覺真的是浪費了時間，也不會有太大的損失。最後你發覺，還是內向的性格和生活對你來說可能更自在和舒服，回復原狀也沒有太大問題。如何過生活還是作為一個成人的自己選擇。但是沒有試過就放棄，聽起來好像浪費了一個機會似的。不記得是在哪裏聽到過，有些事情如果你在大學裏面沒有嘗試過，畢業以後就應該不會有機會做了。可能是沒有時間，工作將會佔據你大部份精神。生活的壓力亦都可能令到你對沒有試過的事情提不起興趣。 除了了解自己，了解社會和世界都非常重要。作為一個小社會，大學生活還是一個相對比較平靜的地方，讓你有多一點時間看一下社會所發生的事情，世界是如何運作。所以我都非常鼓勵同學參與一些義工工作，科大亦都安排了一些社會服務的計劃，希望同學可以多加參與。學校不同地方亦有不同的計劃，招攬一些同學幫忙。可能是一些到地區負責補習班，也可能是到附近海灘清潔，也可能是到社區幫忙公公婆婆生活所需。可能是招生辦事處，希望找同學代表科大到學校以外宣傳不同的課程，或者是當有校外團體參觀科大，同學們可以介紹學校不同的景點。這些也可以幫助同學跟社會不同階層有所接觸。我也鼓勵同學在大學四年裏面應該要參加海外交流，用一個學期甚至更多的時間到世界不同地方看一下。不一定都要到美國加拿大等等世界名校，始終參加這些海外交流的目的，應該是要多看一下不同地方的文化，和跟背景不同的人有所交流。這些對...
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本科生需要知道的大學潛規則 - 校園生活篇（二）

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好了，進入正題。講一下同學們應該如何過這四年的校園生活。 首先分享一下過校園生活的目的。其中一個最重要的目的，是要嘗試過一個獨立的生活。進入大學之前，一般同學們應該都住在父母家，早上到中學上課（最近幾年疫情就會在家開電腦上網上課），下課最多也只是當留在學校一下，又或者是在街上逛一下，應該晚飯時就會回家吃飯，看電視或者做功課，然後睡覺。日復一日生活相對比較單調。跟家庭的關係應該也比較密切。到了大學，同學們就有機會（留意一點，只是有機會）住在宿舍，離開一下父母生活。當然這些機會不是每一位同學都一定有，而且也不是所有同學們都想。可是自己覺得這是一個非常重要的機會，讓同學們嘗試過一下一個獨立自主的生活。這個機會在香港其實相對比較難得到。想像一下，就算你畢業，找到一份穩定的工作，你想搬離開父母，自己到外面無論是自住還是找同屋，費用還是相對可觀，不一定所有人都願意或者有能力過這些獨立的生活。所以如果有這個機會，可以以一個非常實惠的價錢住在學校的宿舍，這就是一個非常好的機會嘗試下獨立生活。食飯，洗衣服，跟同房的相處，時間的安排，娛樂等等，同學們都會有絕對的自由。而這些生活的技能，和待人接物的技巧，都是同學們進入社會以後不可或缺的東西。校園生活，就好比社會的縮影，讓同學們在進入這個大社會之前有一個小小的練習和磨練的機會。 而當你在這個小社會生活，就無可避免需要認識新朋友。跟中學時期非常不同，大部份時間你可能會跟同一班同學上大部份相同的課程，最多可能只會認識不同班別或者不同級別的數位同學。最多是在校外的補習班，不然一般都很少機會會認識不同學校的朋友。中學時期你朋友的數目很可能不會過百。到了大學，就算是同一年進入同一學系的同學，也不一定修讀同樣的課程，你有機會會接觸到的朋友，絕對不只一百人。他們可能是你的同房，可能是住在同一棟宿舍的朋友，他們可能是你同一學系的同學，可能是你在圖書館裏面坐在你旁邊的同學，可能是你自己有興趣的選修課裏面一同做功課的組員。你會認識到不同的人，他們有着不同的背景和興趣，對生活有不同的目標和期盼。到底應該如何跟他們「打交道」就是一門不可或缺的技能。而這個技能，就是在現今社會一定需要掌握的能力。始終人類是群居動物，你不可能都不跟其他人接觸。人際關係這門課還是需要上一上。當然，我這裏不是說你都必須要毫無棱角，做人圓潤到走到哪裏都可以跟人天南地北聊一下，「世界仔」也不...
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本科生需要知道的大學潛規則 - 校園生活篇（一）

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在這篇文章，盡量講一下我覺得同學們應該如何計劃自己的時間，得到一個充實的大學校園生活。在進入社會忙忙碌碌為生活打拼之前，如何可以得到一個在將來不會後悔的四年生活。 同學們都可能聽過一些所謂「大學五件事」。無論是多少件事，同學們都不一定有時間通通參與。以兼職為例，如果同學們根本不需要為錢煩惱，可能就不需要花太多時間放在這個項目上面。可能幫中學生作私人補習，又或者在外面找一份不用花太多時間的兼職，我覺得就可以了。可是如果同學們希望自己能夠應付一切生活所需，不希望從父母身上拿取生活費，那可能就需要花一點時間多做一些兼職，去應付學費生活費簡單的開支。而每個人都只有二十四小時，公平得很，如何好好分配這有限的時間去做不同的事情，就需要同學們自己好好計劃。跟中學生不同，大部份同學（對，有一部份同學們還沒有到18歲）其實已經成年，應該有能力和責任計劃自己的生活。所以無論是「大學五件事」或者這篇文章主要目的，可能只是告訴你們一些可以考慮的方向，到底如何好好分配這二十四小時在這麼多不同範疇上面，就需要同學們自己好好的取捨。 對於剛入大學的同學來說，其中一個最不習慣的地方，是不會有太多人教你如何過一個校園生活。跟中學生活很明顯的分別，我們沒有固定的上課時間，下課時間，沒有訓導老師，沒有班主任，沒有人教你什麼時候到哪裏做什麼。聽起來自由得很，但對於剛過這樣子生活的一位同學，自由來得好像有點太多而不知所措。可能由於生活太過自由，沒有人安排你應該如何過這四年生活，對某部份同學來說，他們可能就埋首於電腦遊戲，或者是一些自己充滿興趣的事情，而忽略了大學可以提供的不同機會。 要留意，我並沒有說這些同學把時間都浪費在「沒有用」的事情，沒有去好好讀書。電腦遊戲，可能也可以發展成同學們自己的事業，所以到底「有用」或是「沒有用」，在大學這幾年的經歷不一定可以清楚決定。記得好幾年前有一個暑期實習計劃，不同大學會安排一些本地學生到上海或者附近大城市的公司作實習生。在暑假結束，我們會跑到上海，看看同學們生活過得如何，從這些實習裏面學習到什麼。其中一個參與了這個計劃的公司，是一家網絡遊戲叫做巨人網絡。那一次到上海，我和科大的就業輔導中心幾名同事一起參觀了他們的公司。印象最深刻的，是他公司環境非常大有錢得很，印象中公司裏面就蓋了一個直升機停機坪。在這間公司實習的同學跟我說，大部份時間公司都要求他們玩遊戲，然後要分享他...
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